NATIONAL UNDERGRADUATE LITERATURE CONFERENCE

Jean Louis Arcand

Description

• mémoire
• cours magistral
• expression écrite - matière potentielle : ction
• expression écrite

In 1985 Weber State University professors Mikel Vause and Michael Meyer offered a forum for undergraduate writers of creative and analytical works to discuss their critical arguments on recognized literary works as well as read and share their own creative pieces. Since, the annual conference has come to enjoy a distinguished reputation. It is the only conference in the country designed to offer talented undergraduate students such experiences. Students from over one-hundred-and-fi fty different colleges and universities across the nation gather in Ogden, Utah for the three-day National Undergraduate Literature Conference (NULC).

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Sujets

• Mémoire
• Cours magistral
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Informations

• Publié par: mevang
• Nombre de lectures: 54
• Langue: Français

Extrait

Chapitre 1
Un livre de cuisine
"In science as in love, too much concentration on technique
can often lead to impotence." (P. L. Berger)
Ossanyin
1.1 Introduction
Le chapitre qui suit résume les principaux résultats techniques dont nous
ferons usage dans le restant du volume. Son titre de “livre de cuisine” est
bien mérité dans le sens que les techniques qui suivent ne sont souvent pas
dérivées à partir de premiers principes. Bien au contraire, en faisant appel
aux connaissances de base en micro de l’étudiant, elles donnent les recettes
bien précises qui sont essentielles à un cours de base en microéconomie du
développement.
1.2 Quelques résultats utiles de calcul diffé-
renciel
1.2.1 Expansion Taylor
Lorsque nous aurons à faire avec des fonctions différenciables (ce qui sera
presque toujours le cas), le Théorème Fondamental du Calcul Différenciel
nous donne une approximation de deuxième ordre très utile.
Recette 1 (Expansion Taylor de second ordre).
1 2 f(y)≈ f(x)+Df(x)(y−x)+ (y−x)D f(x)(y−x) .
2
34 CHAPITRE 1. UN LIVRE DE CUISINE
Remarquons que l’expression précédente est écrite sous forme matricielle,
car x et y peuvent être des vecteurs de dimension arbitraire. De plus, on
utilisera souvent seulement le premier terme de l’expansion, à savoir f(y)≈
f(x)+Df(x)(y−x).Sousformescalaire,onvoitbienlacorrespondanceentre
cettedernièreexpressionetladéfinitiondeladérivéepremièred’unefonction,
car, en réarrangeant, on obtient tout simplement la règle de l’Hôpital :
f(y)−f(x) f(y)−f(x) f(x)≈ , avec lim = f(x).
y→xy−x y−x
De façon générale, la formule est donnée par
i=n 1 n i nf(y)= f(x)+ (y−x) D f(x)(y−x) +O(n), (1.1)
(1+n)!
i=1
où O(n) est un reste qui est d’ordre n. Il se peut que vous soyez habitué(e)
à voir l’approximation de la Recette 1 sous une autre forme. Si nous consi-
dérons le cas scalaire, soit x et soit x = x +ε. Alors0 1 0
1 2 f(x )≈ f(x )+εf(x )+ ε f (x ).1 0 0 0
2
Lorsque x = 0, on parlera parfois d’une expansion MacLaurin, et nous0
1 2 aurons f(x )≈ f(0)+x f(0)+ x f (0). Bien sur, d’autres approximations1 1 12
existent, mais elles ne sont pas très souvent utilisées en microéconomie.
1.2.2 Dérivée logarithmique
Il existe plusieurs contextes (dans la théorie du producteur, par exemple)
où il sera utile de prendre des dérivées logarithmiques. Considérez une fonc-
tion y = y(x). Nous nous intéressons à la dérivée logarithmique de lny(x)
par rapport àlnx, soit :
dlny(x)
.
dlnx
Considérons la transformation de variables x=exp{lnx}. Il suit que nous
pouvons réécrire la dérivée comme :
dlny(x) d
= lny(exp{lnx}),
dlnx dlnx
ce qui s’écrit :
dy(exp{lnx})
dlny(x) dx= exp{lnx},
dlnx y(exp{lnx})1.3. FONCTIONS HOMOGÈNES DE DEGRÉ K 5
et donc :
Recette X (Dérivée logarithmique).
dlny(x) dy(x) x
= .
dlnx dx y(x)

dlny(x) dy(x) dxSivousréécrivezcettedernièreexpressionsouslaforme = ,
dlnx y(x) x
on obtient une interprétation intuitive très simple : la dérivée logarithmique
donne tout simplement l’élasticité de y par rapport à x.
1.3 Fonctions homogènes de degré k
La théorie microéconomique fait souvent appel aux propriétés des fonc-
tionshomogènes.D’unepart,lafonctiondeproductionlapluscommunément
utilisée pour illustrer la théorie élémentaire du producteur ou la fonction
d’utilité la plus commune du côté consommateur -la Cobb-Douglas- est une
fonctionhomogène. D’autrepart, denombreuxrésultatsdebasedelathéorie
du producteur et du consommateur découlent de l’homogénéité des fonctions
quisontissuesdesproblèmesd’optimisationsquiconstituentlabasedelami-
croéconomie. Il est donc essentiel de bien comprendre l’origine des propriétés
associées avec les fonctions homogènes.
1.3.1 Fonction homogène de degré-k
Nous commençons par la forme la plus générale d’homogénéité, pour pas-
ser ensuite au fonctions linéairement homogènes. La recette qui suit donne
la définition d’une fonction homogène de degré k.
Recette 2 (Fonction homogènes de degré k). Une fonction f(x) :
NR →R est homogène de degré-k lorsque nous pouvons écrire∀λ >0,
kf(λx)= λ f(x).
Les fonctions homogènes de degré-k satisfont plusieurs propriétés qui seront
ktrès utiles. Prenons l’expression f(λx)= λ f(x) et différencions par rapport
à l’un de ses arguments, x . Nous obtenonsi
∂f(λx) ∂f(x)kλ = λ .
∂x ∂xi i
En regroupant les termes en λ, nous pouvons alors écrire :
∂f(λx) ∂f(x)k−1= λ .
∂x ∂xi i6 CHAPITRE 1. UN LIVRE DE CUISINE
Posons ensuite ∂f(x)/∂x = g(x). Il suit que l’expression précédente peuti
s’écrire :
k−1g(λx)= λ g(x).
La dérivée partielle d’une fonction homogène de degré k par rapport à l’un
des ses arguments est donc une fonction homogène de degré k−1.
Dans la théorie microéconomique, surtout pour ce qui concerne la théorie
du producteur, nous ferons souvent appel à des fonctions qui sont homogènes
de degré-un, que l’on appelle aussi “linéairement homogènes”. Les fonctions
homogènes de degré-un satisfont un grand nombre de propriétés que nous
résumons dans ce qui suit.
1.3.2 Autres propriétés utiles des fonctions homogènes
NSoit f(x) : R → R une fonction homogène de degré-un. Alors nous
pouvons écrire ∀λ > 0, f(λx) = λf(x). Différencions cette équation par
rapport à λ et évaluons l’expression résultante à λ=1. Nous obtenons ainsi :
NRecette 3 (Loi d’Euler). Soit une fonction f(x):R →R avec∀λ >
0, f(λx)= λf(x).
i=N ∂f(x)
x −f(x)=∇ f(x)x−f(x)=0.i x
i=1 ∂xi
En procédant de la même manière pour une fonction homogène de degré k,
nous avons, plus généralement :
i=N ∂f(x)
x −kf(x)=0.i
i=1 ∂xi
Si nous différencions l’expression f(λx) = λf(x) par rapport à l’un de ces
arguments, x , alors nous obtenons :i

∂f(λx) ∂f(x)
λ − =0, i=1,...,N. (1.2)
∂x ∂xi i
Si nous réécrivons ∂f(x)/∂x = g(x), alors l’équation (1.2) s’écrit g(λx) =i
g(x). La fonction g(x)est donc homogène de degré zéro. Ce résultat est sim-
plement un cas particulier de celui que nous avons établi pour les fonctions
homogènes de degré k. Comme nous en ferons souvent usage dans la théorie
microéconomique de base, nous l’énonçons comme la prochaine recette.
Recette 4 (Dérivée d’une fonction homogène de degré-un). Les
dérivées partielles premières d’une fonction homogène de degré-un sont des
fonctions homogènes de degré-zéro.1.4. OPTIMISATION SOUS CONTRAINTE : LE CAS STATIQUE 7
Les propriétés suivantes seront souvent utiles dans des problèmes associés
avec la théorie du producteur.
Recette 5 (Propriétés additionnelles des fonctions homogènes
de degré-un).
2 2∂ f(x) ∂ f(x)2 2x = x ;i j2 2∂x ∂xi j
2 2 2 2∂ f(x) ∂ f(x) ∂ f(x) ∂ f(x)
x +x = x +x =0;i j j i2 2∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂xi j i ji j
2 2∂f(x) ∂f(x)∂f(x) ∂f(x) 22 2 2x +2x x +x = y =(f(x)) .i ji j∂x ∂x ∂x ∂xi i j j
1.3.3 Fonctions homothétiques
Un concept un peu moins fort que celui de la fonction homogène est
celui de la fonction homothétique. On définit ce type de fonction de la façon
Nsuivante : Soit f(x) : R → R une fonction homogène de degré-k, et soit
g : R → R une fonction croissante monotone. Alors y = g(f(x)) est une
fonction homothétique. Les fonctions homothétiques sont souvent utilisées
dans la théorie du consommateur.
1.4 Optimisation sous contrainte : le cas sta-
tique
1.4.1 Le problème non-contraint
Nous serons souvent confrontés à des problèmes microéconomiques de la
forme
maxf(x), (1.3)
{x}
où f(x):[x,x¯]→R est une fonction continue et différenciable deux fois sur
l’ensemble auquel appartient x, que nous dénoterons par l’intervalle [x,x¯]
(cet intervalle pourrait également êtreR). La valeur de x qui maximise cette
fonction est caractérisée par la condition de premier ordre (CPO)

∗df(x) df(x ) = =0.dx dx∗x=x
Pour des fonctions de plusieurs variables, il y aura autant de CPO que de va-
riables par rapport auxquelles on optimise. Par exemple, si nous considérons8 CHAPITRE 1. UN LIVRE DE CUISINE
le problème non-contraint
maxf(x,y),
{x,y}
les CPO seront données par les deux dérivéespartielles
 ∗ ∗∂f(x,y) ∂f(x ,y ) = =0, ∗∂x ∂xx=x
∗y=y
∗ ∗∂f(x,y) ∂f(x ,y ) = =0,∗∂y ∂yx=x
∗y=y
ce qui s’exprime plus simplement en