Poly - Université d'Evry–Val d'Essonne - L2 Eco-Gestion Méthodes ...

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Universit´ed’Evry–Vald’Essonne-L2Eco-Gestion M´thodesMathe´matiques3-2009/2010 e Essentiel du cours A. VIDAL 13de´cembre2009 Tabledesmati`eres IG´´alit´esetrappels1 ener IIFonctiond’unevariablere´elle1 II.1Continuite´....................................1 II.2De´riv´nunpoint...............................1 ee e II.3Fonctiond´erive´e.................................3 II.4D´eveloppementslimit´es.............................5 II.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 IIIFonctionsdedeuxvariablesre´elles6 III.1 Courbes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 III.2Rendementd’e´chelle,productivit´emoyenne..................7 IV Fonctions de n variablesre´elles8 IV.1D´erive´espartiellesd’ordre1..........................8 IV.2De´riv´eespartiellesd’ordre2..........................11 IV.3 Approximations de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 IV.4Continuit´edesfonctionsde n variables et classe C k . . . . . . . . . . . . . 12 V Formes quadratiques 13 VI Optimisation 16 VI.1Convexite´....................................16 VI.2 Optimisation sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 VI.3 Optimisation sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

IG´ene´ralite´setrappels D´efinition1: Une fonction f estladonne´ed’unensembledede´part E , un ensemble d’arriv´ee F , et d’un ensemble G de couples ( x, y ) ∈ E × F ,appel´e graphe , tel que si ( x, y 1 ) ∈ G et ( x, y 2 ) ∈ G alors y 1 = y 2 . Le domaineded´efinition de la fonction f , note´ D f ,estd´efiniepar: D f = { x ∈ E |∃ y ∈ F, ( x, y ) ∈ G } ⊂ E. Pour x ∈ D f , l’ image de x par f est l’unique f ( x ) ∈ F tel que ( x, f ( x )) ∈ G . On note : f : D f → F x → f ( x ) . Pour U ⊂ E , on note f ( U ) = { f ( x ) | x ∈ D f ∩ U } ⊂ F .

IIFonctiond’unevariablere´elle Pour une fonction f d’unevariabler´eelle`avaleursr´eelles,onrepresentelegraphede ´ f dansleplanmunid’unrep`ereorthogonal(ouorthonorm´e)( O, x, y ). Dans toute cette section, I de´signeunintervallede R de bornes a et b , avec −∞ ≤ a < b ≤ + ∞ , et f unefonctiond´efiniesur I a`valeursre´elles: f : I → R x → f ( x ) . D´efinition2: On appelle voisinage d’un point x 0 ∈ R un sous-ensemble de R conte- nant un intervalle ] x 0 − α, x 0 + α [o`u α > 0.

II.1Continuite´ D´efinition3: f est dite continue en x 0 ∈ I si : ∀ ε > 0 , ∃ η > 0 , ∀ x ∈ I, | x − a | < η = ⇒ | f ( x ) − f ( a ) | < ε. f est dite continue sur J ⊂ I si elle est continue en tout point de J . II.2De´rive´eenunpoint D´efinition4: Soit x 0 ∈ I . 1) f est d´erivable`adroite en x 0 si la limite suivante existe et est finie : lim f ( x ) − f ( x 0 ) =lim f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) x>x 0 x − x 0 h h → > 00 h . x → x 0 1