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Concours Centrale Supélec
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Concours Centrale Supélec

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Description

Niveau: Elementaire
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2005 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière PC On dit qu'une suite réelle est ultimement périodique lorsqu'elle est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire s'il existe et tels que : , . (L'entier est une période de la suite ). On note l'ensemble des suites ultimement périodiques de réels. L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés élémentaires de ces suites et le caractère ultimement périodique éventuel de suites simples. Partie I - I.A - Montrer que est un sous espace vectoriel de l'espace des suites réelles. Est-il de dimension finie ? I.B - Soit un élément de et l'ensemble des entiers tels que la suite admette pour période à partir d'un certain rang. I.B.1) Montrer qu'il existe un entier (que l'on appellera la période de ) tel que : . Que peut-on dire de la suite lorsque ? I.B.2) Montrer qu'il existe un plus petit entier tel que : , Montrer que, pour tout , est le plus petit entier à partir duquel la suite devient -périodique. Combien de paramètres réels suffisent à définir parfaitement ? I.C - Soit un élément de . I.C.

  • n? in?

  • a2n

  • polynôme

  • entier

  • rayon de convergence de la série entière

  • n0 in?


Sujets

Polynôme
Entier relatif

Informations

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Langue Français

Extrait

MATHÉMATIQUES I
Concours Centrale-Supélec 2002
1/4
MATHÉMATIQUES I
Filière PC
La première partie de ce problème est consacrée à la description d’une procédure
géométrique qui aboutit naturellement à la construction d’une fonction continue
:
que l’on étudie sommairement à la Partie II. La troisième partie
concerne les propriétés de dérivabilité des fonctions continues
périodiques
ayant une série de Fourier lacunaire. Enfin, à la Partie IV on combine les résul-
tats des parties I et III pour montrer que la fonction
n’est dérivable en aucun
point de
.
On note
et
et on désigne par
l’espace des fonc-
tions de
dans
qui sont continues et
périodiques.
Si
on rappelle que ses coefficients de Fourier sont donnés pour
par
, la série de Fourier (formelle) de
étant
.
Partie I -
Définition de la fonction
I.A -
On suppose l’espace
muni de sa structure euclidienne canonique. On
définit
:
par :
,
où
et
est la projection orthogonale de
sur la droite passant par
et
si
.
I.A.1)
On suppose
,
et l’on pose
,
,
,
,
,
où
.
Que représentent les points
par rapport au triangle
?
I.A.2)
Montrer que si
alors
,
.
I.B - Pour
on pose
et on définit par
récurrence pour
la suite
par
.
I.B.1)
Soit
,
. Montrer que, si l’on a
, alors
et
.
x
]0,
π
[
IR
→
2
π
–
x
]0,
π
[
IN
∗
IN
\ 0
{
}
=
ZZ
∗
ZZ
\ 0
{
}
=
C
2
π
IR
I
C
2
π
–
f
C
2
π
∈
n
ZZ
∈
f
ˆ
n
(
)
1
2
π
-----
f
t
(
)
π
–
π
∫
=
e
i
nt
–
dt
f
f
ˆ
n
(
)
n
ZZ
∈
∑
e
i
nt
x
IR
2
T
IR
3
IR
3
→
T
x
x
0
,
,
(
)
x
x
0
,
,
(
)
=
T
x
y
z
,
,
(
)
x
'
y
'
z
'
,
,
(
)
=
x
'
y
=
y
'
z
'
,
(
)
y
z
–
,
(
)
x
0
,
(
)
y
z
,
(
)
x
y
z
,
,
(
)
x
x
0
,
,
(
)
≠
x
y
≠
z
0
≠
A
x
0
,
(
)
=
B
y
z
,
(
)
=
C
y
z
–
,
(
)
=
A
′
x
'
0
,
(
)
=
B
′
y
'
z
–
'
,
(
)
=
C
′
y
'
z
'
,
(
)
=
x
'
y
'
z
'
,
,
(
)
T
x
y
z
,
,
(
)
=
A
′
B
′
C
′
,
,
ABC
x
y
z
,
,
(
)
x
x
0
,
,
(
)
≠
y
'
x
'
–
2
z
2
y
x
–
(
)
y
x
–
(
)
2
z
2
+
-------------------------------
–
=
z
'
z
y
x
–
(
)
2
z
2
–
y
x
–
(
)
2
z
2
+
-------------------------------
=
t
]0,
π
[
∈
X
0
t
(
)
0
1
cotan
t
, ,
(
)
=
n
IN
∈
X
n
t
(
)
x
n
t
(
)
y
n
t
(
)
z
n
t
(
)
,
,
(
)
=
X
n
1
+
t
(
)
T
X
n
t
(
)
(
)
=
n
IN
∈
t
]0,
π
[
∈
z
n
t
(
)
0
=
z
n
1
+
t
(
)
0
=
y
n
1
+
t
(
)
x
n
1
+
t
(
)
–
0
=
Concours Centrale-Supélec 2002
2/4
Filière PC
MATHÉMATIQUES I
Filière PC
Soit
; on suppose que
est tel que
si
.
a) Montrer que, pour ces valeurs de ,
.
b) On suppose de plus à présent que
. Montrer que :
et que
.
I.B.2)
Montrer que
,
,
.
I.B.3)
En déduire :
,
,
.
I.B.4)
On pose pour
. Montrer que la suite
converge simplement vers une fonction
continue sur
. En déduire que la
suite
converge simplement vers une fonction
continue sur
.
I.B.5)
Montrer que la fonction
se prolonge en une fonction paire (que l’on
appellera encore ) de
dont on déterminera la série de Fourier.
I.B.6)
Calculer
pour
,
et étudier la limite simple de cette
suite de fonctions sur
.
Partie II -
Étude de quelques propriétés de la fonction
II.A -
Calculer
,
,
; montrer que
,
.
II.B -
II.B.1)
On pose pour
,
,
.
N
IN
∗
∈
t
]0,
π
[
∈
z
n
t
(
)
0
≠
0
n
N
1
–
≤
≤
n
y
n
t
(
)
x
n
t
(
)
–
z
n
t
(
)
--------------------------------
2
n
t
(
)
tan
=
z
N
t
(
)
0
=
y
N
1
–
t
(
)
x
N
1
–
t
(
)
–
z
N
1
–
t
(
)
-------------------------------------------------
2
1
=
2
N
t
(
)
cos
0
=
n
0
≥
∀
t
]0,
π
[
∈
∀
y
n
1
+
t
(
)
x
n
1
+
t
(
)
–
2cos
2
2
n
t
(
)
y
n
t
(
)
x
n
t
(
)
–
(
)
–
=
n
0
≥
∀
t
]0,
π
[
∈
∀
x
n
1
+
t
(
)
x
n
t
(
)
–
1
–
(
)
n
sin
2
2
n
t
(
)
2
n
sin
2
t
(
)
------------------------
=
n
0
u
n
t
(
)
≥
sin
2
t
(
)
x
n
t
(
)
=
u
n
(
)
u
]0,
π
[
x
n
(
)
x
]0,
π
[
u
u
C
2
π
z
n
t
(
)
n
0
≥
t
]0,
π
[
∈
]0,
π
[
x
x
π
4
⁄
(
)
x
π
3
⁄
(
)
x
π
2
⁄
(
)
x
π
t
–
(
)
x
t
(
)
=
t
0
π
[
,
[
∈
n
1
≥
t
]0,
π
[
∈
ϕ
n
t
(
)
1
–
(
)
k
2
k
sin
2
t
2
k
-----
k
1
=
n
∑
=
MATHÉMATIQUES I
Filière PC
Concours Centrale-Supélec 2002
3/4
Montrer que, pour
,
,
.
II.B.2)
Montrer que la suite
converge simplement sur
vers une fonc-
tion
de classe
.
II.C -
II.C.1)
Montrer que les suites
,
sont convergentes :
déterminer leurs limites puis une valeur approchée de celles-ci à
près.
II.C.2)
Montrer que
,
et qu’il existe une
suite de nombres
convergeant vers
telle que
.
Partie III -
Séries de Fourier lacunaires
Soit
. On pose
et
.
III.A -
III.A.1) Montrer que :
,
,
.
III.A.2) Montrer que :
et en déduire l’existence d’une constante
telle que
,
.
Dans toute la suite de la Partie III,
est une suite de nombres
complexes telle que
.
III.B -
III.B.1)
Pour
,
on pose
.
Montrer que la série
converge simplement sur
vers une fonction
dont on déterminera la série de Fourier.
n
1
≥
t
]0,
π
[
∈
∀
2
n
u
t
2
n
-----
1
–
(
)
n
u
t
(
)
ϕ
n
t
(
)
+
(
)
=
ϕ
n
(
)
]0,
π
[
ϕ
C
1
α
n
2
2
n
–
x
π
2
2
n
2
+
---------------
=
β
n
2
2
n
1
+
(
)
–
x
π
2
2
n
3
+
---------------
=
10
3
–
x
π
2
2
n
--------
n
∞
→
lim
∞
–
=
x
π
2
2
n
1
+
---------------
n
∞
→
lim
+
∞
=
t
n
]0,
π
[
∈
0
x
t
n
(
)
0
=
N
IN
∈
D
N
t
(
)
e
i
kt
k
N
–
=
N
∑
=
I
N
1
2
π
-----
D
N
t
(
)
4
t
d
π
–
π
∫
=
t
]
π
–
∈
∀
π
\
0
{
}
[
D
N
t
(
)
N
1
2
--
+
t
sin
t
2
--
sin
------------------------------
=
I
N
8
π
--
sin
4
N
1
2
--
+
t
t
4
--------------------------------
t
d
π
–
π
∫
≥
C
0
>
N
0
≥
∀
I
N
CN
3
≥
a
a
n
(
)
n
0
≥
=
a
n
n
0
≥
∑
+
∞
<
n
0
≥
t
IR
∈
v
n
t
(
)
2
a
n
2
n
t
cos
=
v
n
n
0
≥
∑
IR
v
C
2
π
∈
MATHÉMATIQUES I
Filière PC
Concours Centrale-Supélec 2002
4/4
Désormais
désigne cette fonction (associée à la suite ) et
un réel
tel que
est dérivable en
(on suppose l’existence d’un tel
).
Si
, on définit
.
III.B.2)
Montrer que
et que
est dérivable en . Calculer
et
.
III.B.3)
Calculer
à l’aide de la suite
et montrer que
si
.
III.C -
On suppose désormais
. Soit
et
.
III.C.1)
Montrer que pour tout nombre entier
tel que
, il existe
tel que :
et
,
.
III.C.2)
Calculer
à l’aide de la suite .
III.D -
On pose
si
,
si
ou
(noter que la fonction
ne dépend pas de
).
III.D.1) Montrer que
est bornée sur
. Étudier sa limite en
.
III.D.2) Montrer qu’il existe
telle que
.
III.D.3) Étudier la limite de la suite
.
Partie IV -
Utiliser les résultats des parties I et III pour montrer que la fonction
définie
en Partie I n’est dérivable en aucun point de
.
••• FIN •••
v
a
t
0
v
t
0
t
0
n
0
IN
∗
∈
H
n
0
t
(
)
e
i
2
n
0
–
t
t
0
+
(
)
v
t
t
0
+
(
)
v
t
0
(
)
t
v
′
t
0
(
)
t
sin
–
cos
–
[
]
=
H
n
0
C
2
π
∈
H
n
0
0
H
n
0
0
(
)
H
′
n
0
0
(
)
H
ˆ
n
0
0
(
)
a
H
ˆ
n
0
k
(
)
0
=
k
ZZ
∗
2
n
0
1
–
1
2
n
0
,
1
–
+
–
[
]
∩
∈
n
0
6
≥
N
2
n
0
4
–
=
g
N
t
(
)
I
N
1
–
D
N
t
(
)
4
=
j
4
N
j
4
N
≤
≤
–
α
j
α
0
1
=
t
IR
∈
∀
g
N
t
(
)
α
j
e
i
jt
j
4
N
–
=
4
N
∑
=
H
n
0
t
(
)
g
N
t
(
)
t
d
π
–
π
∫
a
K
t
(
)
H
n
0
t
(
)
t
----------------
=
t
π
π
,
–
[
]
\ 0
{
}
∈
K
t
(
)
0
=
t
0
=
t
π
>
K
n
0
K
IR
0
C
′
0
>
2
n
0
a
n
0
C
′
K
t
N
1
2
--
+
--------------
sin
4
t
t
3
-----------
t
d
∞
–
+
∞
∫
≤
2
n
a
n
(
)
n
0
≥
x
]0,
π
[
  • Univers Univers
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