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1UE Calcul differentiel Corrige succinct de l'epreuve du juin

4 pages
1UE Calcul differentiel Corrige succinct de l'epreuve du 9 juin 2008 Exercice 1 . 1. En appliquant l'hypothese au vecteur h + k on a l'egalite ?(dfx(h + k),dfx(h + k)) = ?(h + k, h + k) , qui se « developpe» par bilinearite et donne, en utilisant a nouveau l'hypothese, pour les vecteurs h et k, ainsi que la symetrie de ?, ?(dfx(h),dfx(k)) = ?(h, k) . 2. Par differentiation de la fonction (identiquement nulle !) x 7? ?(dfx(h),dfx(k)) ? ?(h, k) dans la direction y on obtient ?(d2fx(h, y),dfx(k)) + ?(dfx(h),d 2fx(k, y)) = 0 , ou encore, par symetrie de ?, ?(d2fx(h, y),dfx(k)) = ??(d 2fx(k, y),dfx(h)) . Par suite, en echangeant les roles de y et de h, ?(d2fx(y, h),dfx(k)) = ??(d 2fx(k, h),dfx(y)) , tandis qu'en echangeant les roles de y et de k, ?(d2fx(h, k)

  • theoreme d'inversion globale

  • application constante

  • ?b? a?2

  • continuite de ?

  • ?x? a?2

  • classe c∞


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UECalculdiff´erentiel
1
Corrig´esuccinctdel´epreuvedu9juin2008
Exercice 1 . 1. Enappliquant l’hypothe`se au vecteurh+kon a l’e´galite´
φ(dfx(h+k),dfx(h+k)) =φ(h+k, h+k),
qui se«eppo´dleve»rapt´ritdeelibiean´astnitile,unnoenypotulhuvea`anocevselruop,ese`hsurte hetkilqanusema´isy,rieteedφ,
φ(dfx(h),dfx(k)) =φ(h, k).
2. Pardiffe´rentiation de la fonction (identiquement nulle!)x7→φ(dfx(h),dfx(k))φ(h, k)dans la directionyon obtient
2 2 φ(dfx(h, y),dfx(k)) +φ(dfx(h),dfx(k, y)) = 0,
ou encore, par syme´trie deφ,
2 2 φ(dfx(h, y),dfx(k)) =φ(dfx(k, y),dfx(h)).
Parsuite,en´echangeantlesroˆlesdeyet deh,
2 2 φ(dfx(y, h),dfx(k)) =φ(dfx(k, h),dfx(y)),
tandis qu’en e´changeant les roˆles deyet dek,
2 2 φ(dfx(h, k),dfx(y)) =φ(dfx(y, k),dfx(h)). 2 Enfin, par syme´trie dedfxse´teSedmmle(dne´udtihcawzro)is´egalidecestro 2 2 φ(dfx(h, k),dfx(y)) =φ(dfx(h, k),dfx(y)), 2 d’ou`φ(dfx(h, k),dfx(y)) = 0. Or,φn’ayant pas de vecteur isotrope on aφ(dfx(y),dfx(y)) = φ(y, y)6= 0quel que soity6= 0, et doncdfx(y)6= 0rie´naelionticalippaeluqertnomiceC.dfx n2 est injective surRetdo,lpqieue´edtnmitptaecr´r´leules.evicnoDibcntcejφ(dfx(h, k), z) = 0 n2 quel que soitzR,d`oudfx(h, k) = 0en utilisant a` nouveau le fait queφsoit sans vecteur isotrope. n 3.Dapre`scequipre´c`ede,ladiffe´rentiellededfest identiquement nulle, et pour toutxR,dfx n est un isomorphisme deR. Toute fonction de diffe´rentielle nulle sur un ouvert connexe e´tant constante,dfx=:`prommsihnucnrosiedostndantdeeind´epex, et pour la meˆme raison, la n fonctionf`est constante. Si l’on notebR´depara,rnolaueitsianvno n f(x) =`(x) +b ,xR. n 4. L’applicationfest injective surRcar`l’est : sif(x) =f(y)alors`(x) =`(y)et doncx=y. n n Elle est aussi surjective car`l’est : pour toutzR, il existexRtel que`(x) =zb, et doncf(x) =z. De plus,fest de classeCcomme somme d’une application constante et d’une n n application line´aire continue, et pour toutxR,dfx=`est un isomorphisme deR. Donc n n dapre`sleth´eor`emedinversionglobale,ftsediun´efforomisphseascldemeCdeRsurR.
Exercice 2 .
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