2K DS de mathématiques 55min calculatrice autorisée 2II09

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Description

2K DS de mathématiques 55min calculatrice autorisée 2II09 I) Soit f la fonction définie par x 7 x2 ? 1 x 2 1) Déterminer Df, le domaine de définition de f. 2) Etudier la parité de f. 3) Etudier les variations de f. 4) Tracer Cf dans un repère orthogonal (O;1i ;1j ) tel que || 1i || = 2 cm et || 1j || = 0,5 cm. II) Soit B un cercle de centre O. Soient A et B deux points de B puis M et N deux autres points de B situés de part et d'autre de la droite (AB). Montrer que AMB + ANB = 180°. III) ABC est un triangle rectangle en A. On appelle H le pied de la hauteur issue de A. I et J sont respectivement les milieux de [BH] et [AH]. 1) Montrer que (IJ) et (AB) sont parallèles. 2) Montrer que (CJ) et (AI) sont perpendiculaires. BAREME PROBABLE : I) 9pts II) 4pts III) 7pts

• bareme approximatif


• repère orthogonal


• ij composition de mathématiques


• nature du quadrilatère bdnh


• dj ds de mathématiques


• point libre du segment


• extérieur du triangle abc

Informations

• Publié par: cours_de_mathematiques
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Français

Extrait

K 2 DSde mathématiques55min calculatrice autorisée  2II09 1 2 I) Soitf la fonction définie parx7x− 2 x 1) DéterminerDf, le domaine de définition def. 2) Etudier la parité def. 3) Etudier les variations def. 4) TracerCfdans un repère orthogonal (O;1i ;1j )tel que || i1|| = 2 cmet ||j1|| = 0,5 cm. II) SoitBun cercle de centre O. Soient A et B deux points deBpuis M et N deux autres points deBsitués de part et d’autre de la droite (AB).   Montrer que AMB + ANB = 180°. III) ABC est un triangle rectangle en A. On appelle H le pied de la hauteur issue de A. I et J sont respectivement les milieux de [BH] et [AH]. 1) Montrer que (IJ) et (AB) sont parallèles. 2) Montrer que (CJ) et (AI) sont perpendiculaires. BAREME PROBABLE :I) 9ptsII) 4ptsIII) 7pts

K 2 DSde mathématiques1h calculatrice autorisée x I) Soitf la fonction définie surRparx7 2 1 +x 1) Etudier la parité def 2) Montrer quefadmet un maximum enx= 1 3) Etudier les variations def 4) TracerCfdans un repère orthogonal (O;i1;1j )tel que || i1|| = 2 cmet ||j1|| = 5 cm C II) Sur la figure cicontre,Best un cercle de diamètre [AB] et de centre O. C et D sont des points deBet (OC) est perpendiculaire à (AB).  O Montrer que [DC) est la bissectrice de ADB A 2 2 III) Soitmun réel non nul etfla fonction définie surRparx7(mx4) +mx− 5m + Déterminer les variations defsurR BAREME PROBABLE :I) 12ptsII) 4ptsIII) 4pts

12II07

B

D

DJ 2 DSde mathématiques2h calculatrice autorisée  6III03 I) On considère la droite d d'équation :y= 2x− 4   7 2   1) Les points suivants appartiennentil à la droite d ?A(−3 ; 2) ; B(−1 ; −6) ; C2 + 9 , 22 1+   2  2) Déterminer l'équation de d' la parallèle à d passant par D(1 ; 1). 2 x+ 1 II) Soitfla fonction définie surR− {−1 ; 1} parx7 2 x− 1 1) Etudier la parité def 2) Montrer quefadmet un extremum en 0 sur ]−1 ; 1[ 3) Etudier les variations defsur [0 ; 1[ puis sur ]1 ; +∞[ 4) TracerCf 3 5) Résoudre graphiquementf(x)>x− 1 4 III) SoitBun cercle de diamètre [AB] et de rayon 1. SurB, on place un point M et on appelle C le projeté  orthogonal de M sur [AB]. On poseα= MAB et on appelle O le milieu de [AB]. AC AM 1) Montrer que cosα= = AM AB 2) Montrer que siαappartient à [0 ; 45], alors AC = 1 + cos 2α 2 3) Exprimer dans ce cascosα enfonction decos 2α 4) En déduire la valeur exacte de cos 15 IV) Un premier point se déplace à vitesse constante sur les côtés d'un carré ABCD en partant de A (ABCDABCDABCD…). Un deuxième point part au même moment et à la même vitesse de A en parcourant la diagonale [AC] (ACACAC…). Quand estce que les points se rencontreront à nouveau ? BAREME APPROXIMATIF :I) 3ptsII) 10,5ptsIII) 6,5ptsIV) 2pts

DJ 2 Compositionde mathématiques2h calculatriceautorisée 14II02 − 4 I) Soitf la fonction définie surRparf(x) = 2 x+ 1 1) Démontrer quefadmet un extremum surRen 0 2) Etudier les variations defsur ]−∞; 0] puis sur [0 ; +∞[. Donner son tableau de variations. 3) Résoudre par le calculf(x) < −1 4) TracerCfet vérifier graphiquement le résultat de la question précédente.  II) ABCD est un parallélogramme tel que AB = 8, AD = 4 et BDA = 90°. Soit M un point libre du segment [AB]. On pose AM =x, avecx∈[0 ; 8]. La parallèle à la droite (DB) passant par M coupe le segment [AD] en N. On cherche la position de M afin que le triangle CMN, de base [MN], ait une hauteur de même longueur que cette base. 1) Faire la figure. Tracer la hauteur [CH] relative à la base [MN]. Déterminer la nature du quadrilatère BDNH ? 2) a)Exprimer MN en fonction dex. On posera MN =f(x).  b)Exprimer CH en fonction dex. On posera CH =g(x). 3)a) Représenter sur un même graphique, dans un repère orthonormal, les fonctionsfetg. Préciser leur ensemble de définition et leur sens de variation.  b)Donner une valeur approchée dextel que MN = CH. III)A l'extérieurdu triangle ABC, on construit les triangles équilatéraux BAN et CBP. Montrer, à l'aide de triangles isométriques, que l'on a CN = AP. BAREME APPROXIMATIF :I) 8ptsII) 9ptsIII) 3pts

2IJ Compositionde Mathématiques2 hcalculatrice autorisée24 X 00 I) Simplifier : 2 2 1  x+y  2  x+y  A = 2  2 2  + 3    (x≠0,y≠0 etx≠−y) (x+y)  xy  (x+y)  xy  2 II) 1) On pose pour toutxdeR: P(x) = 3x+ 5x− 2 a) Résoudre dansR, P(x) = 0 2 x+ 4x+ 4 b) Résoudre dansR0, = P(x) 3 2 2) On pose pour toutxdeR: Q(x) = 3x− 4x− 17x+ 6 3 32 2 a) Montrer que pour tous réelsaetb, on a :a−b= (a−b)(a+ab+b) 3 En déduire une factorisation de (x− 27) 3 2 b) Montrer que pour toutxdeR, Q(x) = 3 (x− 27) − 4 (x− 9) − 17 (x− 3) En déduire une factorisation de Q(x) c) Résoudre dansR, Q(x) = 0 d) Résoudre dansR, Q(x) = P(x) III) Soit ABC, un triangle isocèle en A. La perpendiculaire à (AB) passant par B coupe la perpendiculaire à (AC) passant par C en I 1) Montrer que I appartient à la médiatrice de [BC] 2) Soit M un point de [AB] et N le point de (AC) tel que A, C et N soient alignés dans cet ordre avec CN = BM. Montrer que les triangles IBM et ICN sont isométriques. En déduire que la médiatrice de [MN] passe par I IV) A est un point extérieur au cercleCde centre O et de rayon R. Deux droites passant par A coupent ce cercle respectivement en M puis N et M’ puis N’. 1) Démontrer que les triangles AMN’ et AM’N sont semblables. 2) Démontrer que AM×AN = AM’ × AN’. 2 2 3) Le diamètre passant par A coupe le cercle en E puis F: Démontrer que AM × AN = AE × AF = AO− R. 2 4) La droite (AT) étant tangente au cercle en T, démontrer que AM × AN = AT. BAREME APPROXIMATIF :I) 2ptsII) 6ptsIII) 6ptsIV) 6pts