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Analyse II Universite Claude Bernard printemps fiche Exercice Donner pour chacune des fonctions proposees ci dessous un equivalent simple a f x x8 5x6 6x3 quand x b f x x8 5x6 6x3 quand x c f x x8 5x6 6x3 quand x d f x x8 5x6 6x3 quand x e f x x7 +√x ln x e2x 4x5 x9 5x+1 quand x Exercice Etablir pour chacune des fonctions f proposees ci dessous un developpement limite de f en a l'ordre n propose

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Analyse II - Universite Claude Bernard - printemps 2008 - fiche 3 Exercice 1 Donner pour chacune des fonctions proposees ci-dessous un equivalent simple : a) f(x) = x8 + 5x6 ? 6x3 quand x ? 0 b) f(x) = x8 + 5x6 ? 6x3 quand x ? +∞ c) f(x) = x8 + 5x6 ? 6x3 quand x ? 2 d) f(x) = x8 + 5x6 ? 6x3 quand x ? 1 e) f(x) = x7 +√x + (ln x)2 + e2x + 4x5 ? x9 + 5x+1 quand x ? +∞ Exercice 2 Etablir pour chacune des fonctions f proposees ci-dessous un developpement limite de f en 0 a l'ordre n propose : a) f(x) = e?x (n = 5) b) f(x) = ln(1 + x2) (n = 6) c) f(x) = sin 2x + cosx2 (n = 7) d) f(x) = e3x sin 2x (n = 4) e) f(x) = ln(1 + x)1 + x (n = 3) f) f(x) = tanx (n = 5) g) f(x) = ln(1 + x)ex sinx (n = 3) h) f(x) = (1 + x) 1/x (n = 3) i) f(

  • arctan

  • x6 ?

  • arctanx arctan

  • x?

  • etablir des developpements

  • sin

  • theoreme de taylor-young

  • x2 lnx


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AnalyseIIUniversite´ClaudeBernardprintemps2008che3 Exercice 1 Donnerpourchacunedesfonctionspropose´escidessousune´quivalentsimple: 8 6 3 a)f(x) =x+ 5x6xquandx0 8 6 3 b)f(x) =x+ 5x6xquandx+8 6 3 c)f(x) =x+ 5x6xquandx2 8 6 3 d)f(x) =x+ 5x6xquandx1 7 22x5 9x+1 e)f(x) =x+x+ (lnx) +e+ 4xxquand+ 5x+Exercice 2 ´ Etablir pour chacune des fonctionsfe´dnusuomeppolevees´porossdeiscpimitentl´edefrorda`len0en propose´: x2 2 a)f(x) =e(n= 5)b)f(x) = ln(1 +x) (nc)= 6)f(x2) = sinx+ cosx(n= 7) ln(1 +x) 3x d)f(x) =esin 2x(n= 4)e)f(x) =(nf)= 3)f(x) = tanx(n= 5) 1 +x ln(1 +x) ln(1+x) 1/x g)f(x() =nh)= 3)f(x) = (1 +x) (n= 3)i)f(x) =(n= 3) x2 esinx(1 +x)   xshx 2 j)f(x() = shnk)= 4)f(x() =n= 4)l)f(x) =11x(n= 3) 1 +x1 + shx Exercice 3 2 1 +ax De´terminerlesr´eelsaetbpour que cosxeltpenimninunitsordaesuistetidrouepossib´elev´eq 2 1 +bx au voisinage de 0. Exercice 4   1 3 Soitfrapioctolnafien´endf(x) =xsin pourx6= 0 etf(0) = 0. x 1) Montrer quefardre2en0.tnemimil`e´tolaetdmd´unelevpeop 2) La fonctionfsetleeled0?enelbavire´dsiofxu Exercice 5 x+a Pouraonnctilafonitdne´´xoeeel´rfaparfa(x) = Arctan. 1ax 1) Soitneeleonp0p`ealmeenrtulnidm´ietv´e´etmrnirnoeridtreeD.unne´ed´oniveralofcnitedf. a 2) Soitkth´entlelisanutiroYaTlyemedroe`eledirdu´e,dngoue´ce´rpnoitseuqaedtnlevalauedreitneE.renu (k) fa(0). 3) Soitme`eme´rolyroedaTngetYouestilaqu´ce´rpno´,etnedereriecutnen.reitunEsilitdanouenauvethle unde´veloppementlimit´een0a`lordremdefa. Exercice 6 Calculerleslimitessuivantes(sanspr´esupposerleurexistence!): xx eesin 3x1cosx+ ln(cosx) a) limb) limc) lim 3 4 x0x0x0 sinx3xsin 2x x 2 2 tanxsin 2xln(cos 2x) 2 1/x d) lime) lim(cosxlim) f) x(1cos 3x3) ln(cosx) x0x0x0    x x 1 11e1 1e1 g) limh) limln i)lim ln x2 x0x0x+x(e1)xx xx x Exercice 7 Calculerunde´veloppementlimite´ouasymptotiquedelafonctionf:pour chacun des cas suivants 2 a)f(x) =xlnxuo`xdrola`t;5erters1endve b)f(x) =2 +xo`uxre0stea`lrord3e;dvent c)f(x) = ln(2 +xu`)oxtvdne0srea`teorle2dr; π d)f(x) = sinxuo`x;3erdrola`tersvendte 4
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