PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES ________________________________________ Durée : 4 heures
Les calculatrices sont interdites. Les problèmes I et II sont indépendants
I
On noteΓ(t),ψ(t)etϕ(t)les intégrales : = dx Γ(t)∞∫xt−1 ;ψ(t)=∞∫ xtx−+1dx ;ϕ(t)=∫∞oxetx−−1dx1. x oeoe 1 1°- Justifier pourt>0 lexistence deΓ(t)etψ(t) et, pourt>1, l'existence deϕ(t). 2°- Montrer que, pourt>1,Γ( t )=( t−1 )Γ( t−1 ). CalculerΓ(n)pournentier strictement positif. Dans la suite du problème on suppose t>1 3°- On noteϕn(t)etψn(t)les suites définies surN*par : ∞ n→ ϕn(t)=∫e−x( 1+e−x++e−nx) xt−1dxo
∞ n→ψn(t)=∫e−x( 1−e−x++(−1 )ne−nx) xt−1dxo (Il n'est pas demandé de justifier l'existence des intégralesϕn( t )etψn( t ) ( voir 1°-))
Justifier les inégalités : ϕn( t )−ϕ( t )≤∞∫e−( n+1 )xxt−2dx= Γ( t−t1−)1o( n+1 ) Γ ψn( t )−ψ( t )≤∞∫e−( n+2 )xxt−1dx+=( t )to 2 )( n 4°- On pose, pournentier strictement positif : Un( t )=1+21t+..+1tSn( )= −1t+.+(−1 )n+1n; . nt 1 2t
Montrer que :
ϕn( t )= Γ( t )×Un+1( t );ψn( t )= Γ( t )×Sn+1( t )Déduire la convergence des séries∑1 et−n+1 n≥1ntn∑≥11(n)t.
En notantU(t)etS(t)de ces deux séries montrer que :les sommes U ( t )− t )U (≤1;S( t )−S ( t )≤1. n 1( t )nt−1n( n+1 )t −
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Concours d'Entrée _______________
5°- En étudiant la différenceϕ(t)−ψ(t), établir la relationψ(t)= ϕ(t)×( 1−2t1−1). . En déduire l'égalitéS( t )=U ( t )×( 1−2t1−1) 6°- Pour calculer une valeur approchée deU(t)on peut : soit (méthode a) calculerUn( t ) ;soit (méthode b) calculerSn( t )et utiliser la relation obtenue au 5°. On noteαn( t )etβn( t )les majorations des erreurs obtenues en utilisant respectivement: U ( t )−Un( t )≤1t 1 ;( méthode a)S( t )−Sn( t )≤( n+11)t(méthode b) − ( t−1 )n
Montrer que : β n( t−− n)=t 1×t 1 αn ( n( t )+1 )t1 1 − 2t−1 En déduire que , pour tout entier strictement positif, on a : βnt(())t≤tt−11≤1 pour1<t<2 αn2×( 2−−1 ) 2×ln( 2 ) βn( t )≤( t−1 )t×1 pourt≥2αn( t ) tt1−1 2t−1 ( t−1 )t Montrer que la fonctiont→est croissante sur[2,∞). Donner sa limite quandttend vers∞tt Montrer que la fonctiont→1−t1−1est croissante sur[2 ,∞)2 Quels commentaires pouvez-vous faire relativement au choix entre les deux méthodes?
II- A On notefetgles fonctions de3dansRdéfinies par : ∞ − f ( x, y, z )=∫( x+yt+zt2)2etdt ;g( x, y, z )=2f ( x,2y, z )2 pour(x,y,z)≠(0,0,0) ox+y+z 1°- Justifier l'existence de l'intégralef(x,y,z). Montrer que la fonctiongest invariante par homothétie. 3 2 2 2°- Soit x, y, z )S= (∈R / x+y+z2=1 (i) Montrer queSest une partie bornée et fermée de3. En déduire lexistence dun point( x0, y0, z0)deStel que pour tout(x,y,z)deS on aitf ( xo, yo, zo)≤f ( x, y, z ). (ii) Montrer que la différentielle de la fonctiongest nulle en( x0, y0, z0) .
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3°- On notetVla matrice ligne[x, y, z] ettV0la matrice ligne[x0, y0, z0] .V etV0 désignent les matrices colonnes transposées correspondantes. (i) Montrer quef ( x, y, z )peut s'écriretV×M×V oùM est une matrice carrée d'ordre 3, symétrique définie positive dont on donnera l'expression. ° (ii) Montrer queM×V0=f ( x0, y0, z0)×V0 ( On pourra utiliser 1 -(ii)) En déduire quef ( x0, y0, z0)la plus petite valeur propre deest égal à M. 4°-On note le produit scalaire défini sur3parφ( a ,b )=tA×M×B. (AerpsmevetiecntB- désigne la matrice colonne associée au vecteuratnevemce-iterpsb-). On noteaM2= φ( a , a )le carré de la norme associée. On note encore{e0,e1,e2}la base canonique de3. (i) Montrer quef ( 1, y, z )=e0+y e1+z e2M2. En déduire l'existence d'un unique couple de réels( y1, z1) tel que pour tout couple(y,z)de2on aitf ( 1, y1, z1)≤f ( 1, y, z ) (ii) Déterminer le couple( y1, z1)et calculerf ( 1, y1, z1) .Montrer alors que la plus petite valeur propre de la matriceMest majorée par1/3. II B -Dans cette partie on généralise àncertains des résultats obtenus dans la partie A. ∞ On rappelle que∫tke−tdt= kk! (∈N ) 0 ∞ On notef ( a0, a1,.., an−1) l'intégrale∫( a0+a1t+..+an−1tn−1)2e-tdt0 t 1°- Expliciter la matriceMntelle quef ( a0,a1,..,an−1)=V×Mn×V oùtV désigne la matrice ligne [a0, a1,.., an−1]etVla matrice colonne transposée detV. 2°-(i) Montrer qu'il existe un unique point( b1,b2,..,bn−1)den−1tel que pour tout point( a1, a2,.., an−1)de n−1on ait :f ( 1,b1,..,bn−1)≤f ( 1,a1,..,an−1) (ii) Montrer que les réels( b1,b2,..,bn−1)sont solutions du système : n−1 ∑b× +)= −k! j=1j ! j( kk=1,2,..,n−1 On admettra que ce système admet pour solution : b=(−+1 )j×j− jCn ( 1 j )!1j=1,2,.., n−1 (iii) Montrer que : 1 f ( 1,b1,..,bn−1)=[1,b1,..,bn−1]×Mn×0. 0 En déduire quef(1,b1,..,bn-1)=1/n3°- Conclure de 1° et 2° que la plus petite valeur propre de la matriceMntend vers0quandntend vers+∞.