2ème épreuve de mathématiques Option A 2004 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option A 2004. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option A 2004 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________

20042005  _________

 Concoursd'Entrée  _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite OPTION A EXERCICE : 2 ( ) 2 2 −1+t x x1 ⎛ −t ⎞ e 2 1.Montrer que la fonction G(x)= ⎜e dt⎟ +dt  estconstante sur R . Que vaut cette ⎝ ∫  0 ⎠ ∫  0 1+t 2 constante ? + ∞ 2 −t En déduire la valeur de l’intégrale : e dt , utile pour la suite. ∫  0 2 2 2 b + ∞ −a u−. 2 u 2.Pour a> 0 etb≥0 on pose : ( a , b ) = e . du . ∫  0 Au moyen de 1., calculer I ( a, 0 ) . Justifier l’existence de l’intégrale I a,b ) pouraet> 0b≥0 . 1 3.Etablir : I ( a,b ) =I ( 1,ab ) , puispourb> 0 : a ∂I ( a,b ) = −2bI ( b,a ) . ∂b er *+ 4.Quelle équation différentielle du 1ordre est vérifiée par la fonction b→I ( a,b ) surR ? En déduire la valeur de ( a,b ) . PROBLÈME : On utilise les conventions usuelles d’écriture du calcul matriciel. ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ n 2 Un vecteur xdeR spontanément écrit en colonne est x= . Si on veut l’écrire en ligne, on écrit ⎢ ⎥ # ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ n ⎦ T Tn T R:y=y x  désigne le produit scalaire usuel = [ x 1 ,x 2 ,…,x n . De sorte que siyest un autre vecteur de dexpary. n Pour un vecteur fixe deR, etB  unematrice symétrique fixe nxn , on définit la fonction n mdeRdansR par : 1 T T m ( p ) =g p+p Bp . 2 T ( ) Le but du problème est l’étude du minimum (éventuel) demsur les boules p=p p≤αoù 0≤α≤ +∞ . T I  1.Montrer que sigappartient à Im (B) et queBest semi définie positive (c’estàdire p Bp≥0 pour nn tout pde R )mpossède un minimum (global) sur R . Indication : calculer m ( −p+w ) −m ( −p ) lorsque n pvérifieBp =getwest quelconque dans R . 2.En utilisant des coordonnées pour le vecteurget la matriceB, calculer le gradient ∇m ( p ) demenp. 2004

2 n 3.En déduire, réciproquement, que simun minimum (global) sur possède R : à appartient ( ) ImBetB est semi définie positive. T 4.SiB estdéfinie (strictement) positive (c’estàdire p Bp> 0 pour toutp ≠ 0 ) montrer qu’il existe un *n unique vecteur pde R en lequelmadmet un minimum (global) strict. n 5.Bétant une matrice symétrique quelconque, montrer quepréalise le minimum (global) de msurR , si et seulement sim(p)est un minimum local dem.

II EXEMPLE ⎡ 1α0 ⎤ ⎢ ⎥ On prendn=3 et B=α1β . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0β1 ⎣ ⎦ 1.A quelle condition (surαetβ)Bestelle semi définie positive ? définie (strictement) positive ? ère 2.On suppose que la 1condition est réalisée, mais pas la seconde. ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ 2.1On prend g = + β . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦ Montrer quempossède un minimum global obtenu sur une droite. Trouver l’équation de cette droite. 3 2.2Trouver un vecteur gdeRpour lequelinfm p ) = −∞ . 3 p ∈R

III suppose maintenant (et dans toute la suite) que OnBest une matrice symétrique définie (strictement) positive et on s’intéresse au problème de trouver les vecteursp réalisantle minimum dem(p) surla boule ( ) euclidienne p≤ αα >0 . n 1.Pour p≠q(deux vecteurs deR) montrer que l’on a :

T ( p−q ) ∇m ( q ) < m ( p ) −m ( q ) . En déduire que la fonction p→m ( p ) est strictement convexe : c’estàdire vérifie pour p≠qett∈0,1 : ( )( ) m ( tp+1−t q ) <tm ( p ) +1−t m q ) . ( ) 2.Justifier l’existence d’un unique vecteurp(que l’on notera p = p ) réalisant le minimum demsur la boule de centre 0 et de rayonα. * ( ) ≥ α α 3.Montrer qu’il existe α 0 > 0 tel que pour tout 0 :p constant (on notera ce est p:p ). Pour ( ) 0<<α 0 montrer que p α est situé sur la sphère de centre 0 et de rayonα. 4.1 Enconsidérant la fonction ( )( )( ) α ψ t ( p ) =m ( p+t ( p−pα ) ) −m ( pα ) t∈ [ 0,1 . α∈α Etablir pour 0, 0 [ la relation T ( )( ) ( p−pα ) ∇m ( pα ) ≥0 pour toutpvérifiant p≤α . 4.2En déduire par un raisonnement géométrique (sans utiliser de calcul) que ( )( ) ∇ ( ) = −λ α m p α .p λ ≥ où α 0.est un scalaire 2004

3 5. Réciproquement,toujours pour α∈0,α 0 [ , montrer que si pvérifiep=α et∇m ( p ) = −λp (avecλ≥0) ( ) on obtient nécessairement : p=pα . n  Indication: Utiliser (après l’avoir justifié) le fait que p  réalisele minimum (global) sur R  dela fonction : 1 T T ( ) p→m ( p ) =g p+p B+ λ I p . 2

IV  EXEMPLE ⎡ 1 ⎤ ⎡ 7−2 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ On prend g=6 3B= −2 10−2 . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −1 ⎢ 1−2 7 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 1.Montrer queBest définie (strictement) positive. * 2.Déterminer p . ( ) 3.Déterminer la courbe →pα , (du moins une paramétrisation) pour ≥0 .

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