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2ème épreuve de mathématiques Option B 1998 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option B 1998. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option B 1998 sur Bankexam.fr.
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I S. F. A. _________
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________
1998-1999 _________
Concours d'Entrée _______________
Durée : 4 heures OPTION B Les calculatrices sont interdites. Les problèmes I et II sont indépendants I On considère l'expérience aléatoire suivante: (schéma ci-contre) Une sphère de rayonr est coupée par un plan situé H à une distance aléatoire (notéeH) du centreOde la sphère. O On suppose que la loi deHest la loi uniforme sur le segment[0,r]. On noteRle rayon du cercle intersection. 1°- ExprimerRen fonction deH. En déduire l'espérance et la variance deR. 42 On poseX= ×R. Donner l'espérance puis la variance deXque l'on écrira sous la formek.r π ième 2°- On répète de manière indépendante l'expérience décrite ci-dessus. On noteRle rayon obtenu à la nn n 1 expérience etXla variable associée définie en 1°. On note aussiXla variable×X. nnk n k=1  (i)En appliquant le théorème de la limite centrale à la suite {X,nN*} donner une expression approchée n du réelλtel que l'événement" Xr<λ"se réalise avec une probabilité de 90%. nn n 1.64 2 1 2x / (On donne :e dx#0.95) 2π −∞ r En déduire des expressions approchées de deux réelsaetbtel que l'événement :" a< <b "se réalise n nn n X n avec une probabilité de 90%. Donner un équivalent de la différencebaquandntend vers+. n n  (ii)On noteMla variable aléatoire),.., RMax( R. n 1n Donner la fonction de répartition de la loi de la variableM. n r 1 En déduire un réelctel que l'événement"1< <"se réalise avec une probabilité de 90%. n M c n n 1 Donner un équivalent, quandntend vers+ , de la différence1. c n Commentaires.
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II  Onse propose d'étudier l'évolution d'une population de bactéries. Cette évolution est décrite par les règles exposées ci-dessous:  (a)Toute bactérie évolue indépendamment des bactéries voisines.  (b)Si une bactérie est présente dans la populationà la daten(nentier naturel) elle peut :  -soit, avec une probabilité notéex, disparaître purement et simplement entre les datesnetn+1;  -soit, avec une probabilité notéey, survivre à la daten+1sans créer de bactérie "sœur "; -soit, avec une probabilité notéez, survivre à la daten+1en créant une bactérie "sœur" (ayant les mêmes caractéristiques d'évolution) égalementprésente à la daten+1. On a doncx+y+z=1. Les abréviations "Pr" et "Esp" désignent les mots "probabilité" et "espérance". Les parties A et B sont indépendantes. A A la date0une seule bactérie est présente. Le réelxest supposé strictement positif. On noteNnle nombre de bactéries présentes à la daten. N 1 1°- Donner la loi deN. Calculer le polynômeQ (t )=Esp( t). 1 1 N 2 2°- Donner la loi deN.Vérifier que le polynômet )Q (=)Esp( tpeut s'écrire : 2 2 2 Q (t )=x+y×Q (t )+z×Q (t )2 11 3°- Etablir les relations suivantes : Pr( N=0 )=x+y×Pr( N=0 )+z×H (0 ) n n1 n1 Pr( N=k )=y×Pr( N=k )+z×k )kH (1 n n1 n1 − −  oùla suitek( k ) Hest une suite de probabilités que l'on définira. n N 2 n 4°- On notet )Q (le polynômeEsp( t). Déduire de 3° l'égalitét )Q (=x+y×t )Q (+z×Q (t )n nn1 n1 5°- Les réelsx,yetzsont les probabilités définies ci-dessus. On définit la suitenupar : n  -le premier termeu1supposé appartenir au segment [0,Min(1,x/z)]. (Onposex/z=sizest nul) 2  -la relation de récurrence :u=x+y×u+z×un n1 n1  (i)Montrer que la suite prend ses valeurs sur le segment[0,1] etest croissante. En déduire que la suite est convergente. Donner sa limite(On sera amené à discuter en fonctionde la différencex-z)  (ii)En déduire qu'il existe un segment[0,r] (r>0) tel que, pourt[0,r], les suitesnt )Q (aient la même n limite. (iii) Déduire alors la limite de la suite nPr( N=0 )etmontrer que, pourkentier naturel non nul, la suite n nPr( N=k )a pour limite0. n 6°- On note: Al'événement "la population s'éteint" Bl'événement "l'effectif de la population reste borné et non nul". Cl'événement "l'effectif de la population n'est pas borné."  (i)Exprimer l'événementA enfonction de la suite des événements" N=0 ". En déduire la probabilité de n l'événementA.  (ii) Montrer quePr(B)est égale à la limite de la suitehPr( "0<Nh" ). n nN* Déduire de 5° la probabilitéPr(B) (iii) Conclure sur les probabilitésPr(A),Pr(B) et Pr(C)suivant la valeur de la différencex-z.
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7°-On suppose pour cette questionx-z0.On définit la variable aléatoireTà valeurs entières parT=Inf{Nn /=0}. n On se propose de montrer que la variable T admet une espérance pour x>z et n'a pas d 'espérance pour x=z.  (i) CalculerPr(T=1) ; Pr(T=2). (ii) On noteαla probabilité de l'événement "Nn>0" . On pose, pourn=0,α=1 .n 0 Montrer, pourn1,les égalités :Pr( T=n )=αα=α×( xz+z×α) nn1 n1 n1  (iii)On supposex>z. Montrer queαest équivalent àα×( 1x+z ). En déduire queTune admet n n1 espérance.  (iv)On supposex=z. Etablir les relations: p p n×Pr( T=n )= −p×α+α pn1 n=1 n=1 2 Pr( T=n )=x×α n 1 En déduire qu'on ne peut avoir simultanément l'existence de l'espérance deTet la divergence de la série de terme généralα. n 2 En utilisant la relation de récurrenceα=αx×αdéduite de (ii) montrer que la série de terme général n n1 n1 ln( 1x×α)diverge. Conclure. n B A la date0on suppose quemAucune bactérie ne peut créer de bactériesbactéries sont présentes. "sœurs".Les caractéristiques d'évolution desmbactéries sont notées respectivement {(y ,(x ,z=0 )) ;x+y=1;i=1,2,..,m}. i ii ii On suppose que, pour tout indicei,les probabilitésxsont strictement positives. i Ndésigne encore le nombre de bactéries présentes à la daten.(n>0)n 1°- Reconnaître la loi deNquandx=xpour tout indicei. n i 2°- Calculer pour toutn la probabilitéPr( N=0 )n 3°-Adésigne l'événement "la population s'éteint". Calculer la probabilitéPr(A). 4°- SoitTla variable aléatoire définie parT=Inf{n /N=0}. n m n Donner la loi deT. Montrer quePr( T>n )=1( 1y )i i=1 5°- Montrer que la variableTadmet une espérance et que cette espérance est égale à : 1 11 m+1 Esp( T)= −+....+(1 )∑ ∑ 1y 1y y1y y ...y i=i1,..,m ij i2 mj 1 (On pourra démontrer et utiliserEsp( T)=Pr( Tn )) n1
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