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Actes24eS´eminaireLotharingiendeCombinatoire,17() 77–85
Escaliers´evalu´esetnombresclassiques GuoNiu HAN I.R.M.A., CNRS et ULP 7,rueRene´Descartes F67084 Strasbourg
´ ´ RESUMEesnuslritnoovuledesemblN.´suosuoninneabetssli couplescompose´sdunescalieretduneapplicationsurcetescalier.En utilisantcetteinvolution,onretrouvedirectementplusieursdidentit´essur les nombres classiques et leurs variations.
1. Introduction Danslathe´oriecombinatoiredesnombresdeGenocchi,DUMONT[Dum] 1 a introduit la notion d’ateedanexc´tivejrcenousacitppil´etu.Pourdier lespropri´ete´sdesym´etrietrivarie´edespolynoˆmesdeDumontFoata, nousavonsprolonge´dans[Han]cettenotionene´tudiantlesproprie´t´es g´eom´etriquesdesse´ulave´sreilaesc(oue´ssee´avulchausgerlicaes). Il est remarquabledevoirquesionchoisitdautrese´valuationsquecellesqui e´taientimpose´esparl´etudedecespolynˆomes,onretrouveuncadre ge´om´etriquecommunpourl´etudedeplusieursfamillesdepolynoˆmes re´cemmentintroduitsparD,F,RetZ UMONT OATA ANDRIANARIVONY ENG (cfst´espourtparnotptrri`´eeilrel,sepnraitucZeRa.E])uR[D,[a]uD[.,]oF classiquesdesnombresdeStirlingdesecondeesp`ecetrouventunenouvelle jouvence dans ce contexte desva´ersiealscese´ul. Lebutdeceme´moireestdepre´senterune´etudege´n´eraledecesobjetset dedonnertoutesles´evaluationsutilespermettantderetrouverlesr´esultats surlesdi´erentspolynoˆmesde´riv´esdesnombresclassiques,Genocchi, Stirling,. . . Soientnk; un0 deux entiers escalierde hauteurket de longueur nuiesdtetienscerdtsene´mocinuemorsiastne E= (E1= 1, E2, . . . , En=k) telle queEi+1Eiou 1 pour tout= 0 i. L’ensemble des escaliers de hauteurket de longueurnot´eestnE(n, kreettˆeurplaeiencs)U. repr´esente´parlediagrammedeFerrersjusti´e`adroite(voirlexemple cidessous) en posant Diag(E) ={(i, j)|1in,1jEi}.
1 appele´plustardpistolesdans [DuVi].
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