Agregext composition de mathematiques generales 2001 maths

Description

Agr´egation de Math´ematiques 2001 - Concours ExterneMath´ematiques G´en´eralesProl´egom`enesnDans tout le probl`eme n d´ esigne un entier naturel strictement positif, R le corps des nombres r´eels et Rnl’espace vectoriel euclidien canonique de dimension n. R est ´egalement canoniquement muni d’une structured’espace affine. On choisit pour origine, not´ee O, le vecteur nul de l’espace vectoriel.nOn note x,y le produit scalaire de deux vecteurs x et y de R et x la norme euclidienne de x.On note GL (R) le groupe des matrices carr´ees de dimension n inversibles et on note det(A)led´eterminantnnde la matrice carr´ee A.SiE est une partie de R et A une matrice dans GL (R), on note A(E) l’image dennE par l’endomorphisme de R canoniquement associ´e`a A.n nSi E est une partie de R , on appelle figure polaire de E ,not´ee E ,lapartiedeR form´ee des points y telsque x,y est inf´erieur `a 1 pour tout x dans E: nE ={y∈ R |∀x∈ E,x,y 1} .nOn rappelle qu’une partie de R est convexe si, pour tout couple (A,B) de ses points, elle contient le segmentn[A,B]. Une fonction f d’une partie E de R `a valeurs dans R est dite convexe si E est convexe et si2∀(x,y)∈ E ,∀λ∈ [0,1],f(λx +(1− λ)y)≤ λf(x)+(1− λ)f(y)(i.e. le graphe est sous ses cordes). On dit que f est strictement convexe si elle est convexe et si l’in´egalit´epr´ec´edente n’est une ´egalit´equesix = y ou λ∈{0,1}. Enfin f est dite (strictement) concave si −f est(strictement) convexe.nUne partie E de R ...

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Extrait

Agr´egationdeMathe´matiques2001ConcoursExterne

Mathe´matiquesGe´n´erales

Prol´egome`nes

n Danstoutleprobl`emenmeneptsoletsirtcitif,si´edtnenuengrutanreiRlee´tesbmonrsercorpsdesleR n l’espace vectoriel euclidien canonique de dimensionn.R’uidstnectrueurtnemelage´tseuntmenemquninoca d’espaceaffine.Onchoisitpourorigine,note´eO, le vecteur nul de l’espace vectoriel. n On notex, yle produit scalaire de deux vecteursxetydeRetxla norme euclidienne dex. On note GL n (Ronsienimdedsee´rracsecirpedesmat)legrouninversibles et on note det(Anantermid´et)le n delamatricecarr´eeA. SiEest une partie deRetAune matrice dans GL n (R), on noteA(E) l’image de n Epar l’endomorphisme deRanciqonemeusatnicosa`e´A. n n SiEest une partie deR, on appelle figure polaire deEn,e´eotE, la partie deRe´deseopintsofmrytels quex, yeirea`rutse´fnitou1pourtxdansE:  n E={y∈R| ∀x∈E,x, y ≤1}. n On rappelle qu’une partie deRest convexe si, pour tout couple (A, B) de ses points, elle contient le segment n [A, B]. Unefonctionfd’une partieEdeRansdurleva`asRest dite convexe siEest convexe et si 2 ∀(x, y)∈E ,∀λ∈[0,1], f(λx+ ( 1−λ)y)≤λf(x) + ( 1−λ)f(y) (i.e. legraphe est sous ses cordes).On dit quef´ealitn´egil’isestrtciexnvieesmetecontxevnsteeeellocts pre´ce´denten’estune´egalite´quesix=youλ∈ {0,1}. Enfinfest dite (strictement) concave si−fest (strictement) convexe. n Une partieEdeRest diteO-etrisym´iellquesbolgtseeitnemelantiaarnvsylaarepenffia)trene(aletm´ecri de centreO. Siλest un scalaire, on noteλEl’image deEertnecedeieth´otom’hrlpaOet de rapportλ. n On dit qu’une partieEdeRsellieonecxeved’etcnutsprovnocsexee.Onremarquerani´treeiruonvndi qu’un corps convexeOtr´eym-sntcoueiqotjueitnuosrOint´ssonur(caerrsiiednaxerieint´esttsedelenrui, mˆemede−xrietm´syarp(edissuateex+ (−x))/onvexit´2parc)e. n Enfin siEest une partie Lebesgue-mesurable deRon note vol(E) son volume. Lesdeuxi`emeettroisie`mepartiessontind´ependantesl’unedel’autre.Ilestrappel´equelapre´sentation,la re´dactionetlapr´ecisionsontdese´le´mentsimportantsd’appr´eciationdescopies. PartieIGe´n´eralit´es n SoitKun corps convexe et compact deRcontenantOr.inossnadueire´tn Question 1 n SoientK 0 etK 1 des parties convexes deRetθ´rnudlee[sna0,1]; montrer queK θ ´esteocvnxeoeu`nonato n K θ = ( 1−θ)K 0 +θK 1 ={x∈R| ∃(x 0 , x 1 )∈K 0 ×K 1 , x= ( 1−θ)x 0 +θx 1 }. Question 2  t−1 SoitAune matrice dans GL n (R). Montrer(A(K)) =A(K). Question 3 n SoitxdansR, on poseI x ={λ∈R + |x∈λK}. 3.aMontrer queI x estunindeajnm´eormrefone´vretellaR + . 3.bOn peut donc poserj K (x) = infI x ’est;ctoiS.fitisoplee´rnu∂Keeried`ntroaflK. Montrer x∈K⇐⇒j K (x)≤1 etx∈∂K⇐⇒j K (x) = 1.

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