Bac ES – Antilles-Guyane – juin 2009 Exercice 1(4 points)Commun tous les candidats PARTIE A : aucune justification nest demande Cette partie est un questionnaire choix multiplies. Pour chacune des questions, trois rponses sont proposes.Une seulede ces rponses est exacte. Indiquer sur la copie le numro de la question et la lettre correspondant la rponse choisie. Une rponse exacte rapporte 0,5 point. Une rponse fausse enlve 0,25 point. Labsence de rponse ne rapporte ni nenlve aucun point. Si le total des points de la partie A est ngatif, la note attribue cette partie est ramene zro. On notelensemble des rels. −x Soitla fonction dfinie surpar(x) = (–x+ 2)e. a.−∞1. La limite de la fonctionen+∞est gale :b. 0 c.+∞a. nadmet aucune solution dans2. Lquation(x) = 0 :b. admet une seule solution dansc. admet deux solutions dansa.y= –3x+ 2 3. Lquation rduite de la tangente la courbe b.y= –x+ 2 reprsentative deau point dabscisse 0 est : c.y=x+ 2 1 a.3e –1 b.34. Le minimum desurest : e 1 c.–3e PARTIE B : la rponse devra tre justifie La fonctionest celle dfinie dans la partie A. On notesa courbe reprsentative dans un repre orthogonal. tudier la position relative de la courbeet de la droiteΔdquationy= –x+ 2 sur lintervalle ]0 ; 2[.
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Exercice 2(6 points)Commun tous les candidatsLes parties A et B de cet exercice sont indpendantes. On considre la fonctiondfinie sur ]0 ;+∞[ dont on donne la reprsentation graphique () dans le repre ci-dessous.
()
On admet que : -le point A de coordonnes (1 ; 1) appartient () ; -la tangente (T) en A la courbe () passe par le point de coordonnes (2 ; 0) ; -la courbe () admet une tangente horizontale au point dabscisse 2 ; -laxe des ordonnes est asymptote la courbe () de la fonction. Partie A 1.Donner, par lecture graphique ou en utilisant les donnes de lnonc, les valeurs de(1), (1) et(2), oest la fonction drive desur ]0 ;+∞[. 2.On admet que lexpression de(x) sur ]0 ;+∞[ est :(x) =ax+b+clnxoa,betcsont des nombres rels. a.Calculer(x) en fonction dexet dea,betc. a+b= 1 a+c= –1 b.Dmontrer que les relsa,betcvrifient le systme. c a0+ = 2 c.Dduire de la question prcdente les valeurs dea,betc, puis lexpression de(x). Partie B Dans cette partie, on admet que la fonctionreprsente ci-dessus est dfinie pour tout relxappartenant ]0 ;+∞[ par :(x) =x– 2lnx. 1.Justifier que laxe des ordonnes est asymptote la courbe reprsentative de. 2.a.Calculer la driveg de la fonctiongdfinie pour tout relx∈]0 ;+∞[ par : g(x) =xlnx–x. b.En dduire une primitiveFde la fonctionsur ]0 ;+∞[. c.Dterminer la valeur exacte, en units daires, de laire du domaine gris sur le graphiqueci-dessous, dlimit par la courbe (), laxe des abscisses et les droites dquationx= 1 etx= e.
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Exercice 3(5 points)Commun tous les candidats Au tennis, le joueur qui « est au service » joue une premire balle. Si elle est juge « bonne », il joue lchange et peut gagner ou perdre. Si elle est juge « faute », il joue une deuxime balle. Si cette deuxime balle est juge « bonne », il joue lchange et peut gagner ou perdre. Si cette deuxime balle est juge « faute », il perd. re On dsigne par :S1balle de service est « bonne » » ;lvnement « la 1 e S2lvnement « la 2balle de service est « bonne » » ; Glvnement « le point est gagn par le joueur qui est au service ». Pour le joueur Naderer qui est au service, on dispose des donnes suivantes : •sa premire balle de service est juge « bonne » dans 40 % des cas ; •sa deuxime balle de service est juge « bonne » dans 95 % des cas ; •si sa premire balle de service est juge « bonne », il gagne lchange dans 80 % des cas ; •si sa deuxime balle de service est juge « bonne », il gagne lchange dans 60 % des cas. Pour tout vnementA, on noteAlvnement contraire. 1.Recopier et complter larbre suivant :
2.Calculerp(S1 G). 3.Montrer que la probabilit que le joueur Naderer gagne lchange est de 0,662. 4.Sachant que le joueur Naderer a gagn lchange, calculer la probabilit que sa premire balle de service ait t juge « bonne ». Le rsultat sera arrondi au millime. 5.Calculer la probabilit que le joueur Naderer gagne quatre changes conscutifs. On donnera le rsultat arrondi au millime.
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Exercice 4(5 points)Pour les candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit Daprs lINSEE, lindice du chiffre daffaires du secteur de Btiment gros œuvre (base 100 en 2000) a volu entre 2000 et 2007 de la manire suivante : Anne 20002001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Rang de lannexi, 0 1 2 3 4 5 6 7 0i7 Indiceyi, 0i 7106,9 110,8 121,3 132,5 145,5 161,8100 105,6 Partie 1 : Un ajustement affine est –il possible ? 1.Dans un repre orthogonal, reprsenter le nuage de points (xi;yi) 0i(units 7 graphiques : 2 cm pour 1 anne sur laxe des abscisses ; 2 cm pour 10 units dindice sur laxe des ordonnes, en graduant ce dernier partir dey= 90). 2.Expliquer pourquoi un ajustement affine de ce nuage de points ne parait pas appropri. Partie 2 : On essaie un autre ajustement −2 1.Recopier et complter le tableau ci-dessous ; on donnera les rsultats 10. xi, 0i1 2 3 4 5 6 77 0 zi= lnyi, 0i 7 2.a. laide de la calculatrice, donner une quation de la droite dajustement dezenx obtenuepar la mthode des moindres carrs : les coefficients seront arrondis au centime. Bx b.En dduire une expression deyen fonction dexsous la formey= Aeo A et B sontdes rels. 0,07x c.Dans le repre prcdent, reprsenter la fonctiondfinie par(x) = 95,6e. d. laide de ce modle, donner une estimation de lindice du chiffre daffaires du secteurdu Btiment gros œuvre pour lanne 2009. Partie 3 : Ce nouvel ajustement permet-il de prvoir lavenir ? « Baisse des permis de construire et donc des mises en chantier, stocks de logements neufs trop importants, hausse des taux dintrts, des cots des matriaux et de la main dœuvre … en croire le numro 1 de lassurance crdit en France, qui publiait jeudi son tude intitule «Immobilier, construction : quand la sortie de crise ?», le BTP franais donne des signes de faiblesse et doit sattendre selon lassureur, tout dabord une dgradation de sa rentabilit ». la lecture de cette analyse faite en avril 2008, peut-on utiliser le modle exponentiel de la partie 2 pour pronostiquer le chiffre daffaires du secteur btiment gros œuvre en 2009 ?
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Exercice 4(5 points)Pour les candidats ayant suivi lenseignement de spcialit On considre le graphe suivant : B F
E
C A D 1.Le graphe G est-il connexe ? Expliquer la rponse. 2.Le graphe G admet-il des chanes eulriennes ? Si oui, en prciser une. 3.Justifier la non-existence dun cycle eulrien pour le graphe G. Quelle arte peut-on alors ajouter ce graphe pour obtenir un graphe contenant un cycle eulrien ? 4.Dterminer un encadrement du nombre chromatique du graphe G. Justifier la rponse. 5.Dterminer alors ce nombre chromatique, en explicitant clairement la dmarche. 6.Dterminer la matriceMassocie ce graphe (les sommets sont pris dans lordre alphabtique). 4 108 106 5 10 611 611 10 38 11 8 1111 6 7.On donneM= . 10 611 611 10 6 1111 118 8 8 45 10 6 10 Dterminer le nombre de chanes de longueur 3 partant du sommet A et aboutissant au sommet F. Citer alors toutes ces chanes.