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Bases d'algèbre et d'analyse 2006 Tronc Commun Université de Technologie de Belfort Montbéliard

2 pages
Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Bases d'algèbre et d'analyse 2006. Retrouvez le corrigé Bases d'algèbre et d'analyse 2006 sur Bankexam.fr.
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le 19 Janvier 2007 UTBM MT11
Final Automne 2006 Calculatricesinterdites.Leseuldocumentautoris´eestune feuille A4 recto-versore´dig´eea`lamain
Chaqueexercicedoitˆetrer´edig´esurunefeuille die´rente
Ilseratenucomptedanslacorrectiondelapr´esentationetdelar´edactioncorrectedes de´monstrations.
Exercice 1(Applications directes du cours) - 5 points Danscetexercice,aucunequestionnene´cessiteplusdequelqueslignespour eˆtrere´solue 1) Peut-on trouverfune fonction continue sur]a, b[telle quef(]a, b[) = [c, d](a, b, c, dR) ?Si oui, donner un exemple, sinon, justifier. 2)Donnerlensembleded´enitionetlad´eriv´eedelafonctionre´elle`aunevariable x+1 re´elled´eniepasf(x) = arccos(e). 3)Peut-ontrouverunefonctionre´elled´eniesurRruselbavire´d,Rd,eev´ri´eadtlon nesoitpasde´rivablesurR? Si oui, donner un exemple, sinon, justifier. 2 4)Peut-ontrouverunpolynoˆmededegre´3telqueD(X) =X1soitP GCDde 0 P(X)etP(X)? Si oui, donner un exemple, sinon, justifier. 3 5)Quelleestlenombredesolutionsre´ellesdele´quationx+ 2x1 = 0?
Exercice 2(5 points) Soitnunecnitnoe`eralofcoOnidnssipof.tietcitnemeitnrtsrfnurd´eniesRpar ( fn0(0) = 1 fn(xarctan() =1)pour x6= 0 x.sin( ) n 1)PournNe´x, la fonctionfnest-elle continue? 2)PourxR´xe, calculer limfn(x). n+3) On notefpalpcitaoidne´nielsurRqui`axassocief(x) = limn+fn(x). Est-elle continue surRerrp?aLnter´ese.
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Exercice 3(6 points) 1)D´ecomposeren´ele´mentssimples 2 . x(x+ 1)(x+ 2) P n 1 2)Ende´duirelasommeSn=(nN). p=1p(p+1)(p+2) 3) Trouverlimn→∞Sn. 4)are´ne´Goitatsildn1e:)mentssimren´el´ecemoopesselp´D n! , nN, n3. x(x+ 1)(x+ 2)...(x+n)
5)te:ndan´epeindntsoiQeu´ecoDursslempsitsneme´le´neresopmR(X), la fraction rationnelle 2 XX+ 1 F(X) =. 4 2 X+X Quelles sont les primitives deF(X)?
Exercice 4(5 points) Onconsid`erelafonctionr´eelledunevariabler´eelle: f:R−→R 2 x x7→f(x) =x e1x
1)Quelestlensembleded´enitiondefapregnolorpaL?.´eitnutionrc 2) Montrer que le prolongement deftbdle´eerievsan0. Donner la valeur de cette de´riv´ee. 3)Donnersonde´veloppementlimit´een0odrer`al3.
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