le 19 Janvier 2007 UTBM MT11
Final Automne 2006 Calculatricesinterdites.Leseuldocumentautoris´eestune feuille A4 recto-versore´dig´eea`lamain
Chaqueexercicedoitˆetrer´edig´esurunefeuille diffe´rente
Ilseratenucomptedanslacorrectiondelapr´esentationetdelar´edactioncorrectedes de´monstrations.
Exercice 1(Applications directes du cours) - 5 points Danscetexercice,aucunequestionnene´cessiteplusdequelqueslignespour eˆtrere´solue 1) Peut-on trouverfune fonction continue sur]a, b[telle quef(]a, b[) = [c, d](a, b, c, d∈ R) ?Si oui, donner un exemple, sinon, justifier. 2)Donnerl’ensembleded´efinitionetlad´eriv´eedelafonctionre´elle`aunevariable x+1 re´elled´efiniepasf(x) = arccos(e). 3)Peut-ontrouverunefonctionre´elled´efiniesurRruselbavire´d,Rd,eev´ri´eadtlon nesoitpasde´rivablesurR? Si oui, donner un exemple, sinon, justifier. 2 4)Peut-ontrouverunpolynoˆmededegre´3telqueD(X) =X−1soitP GCDde 0 P(X)etP(X)? Si oui, donner un exemple, sinon, justifier. 3 5)Quelleestlenombredesolutionsre´ellesdel’e´quationx+ 2x−1 = 0?
Exercice 2(5 points) Soitnunecnitnoe`eralofcoOnidnssipof.tietcitnemeitnrtsrfnurd´efiniesRpar ( fn0(0) = 1 fn(xarctan() =1)pour x6= 0 x.sin( ) n ∗ 1)Pourn∈Ne´xfi, la fonctionfnest-elle continue? 2)Pourx∈R´xefi, calculer limfn(x). n→+∞ 3) On notefpalpcitaoidne´nfii’elsurRqui`axassocief(x) = limn→+∞fn(x). Est-elle continue surRerrp?aLnter´ese.
1
TOURNER LA PAGE SVP
Exercice 3(6 points) 1)D´ecomposeren´ele´mentssimples 2 . x(x+ 1)(x+ 2) P n 1 2)Ende´duirelasommeSn=(n∈N). p=1p(p+1)(p+2) 3) Trouverlimn→∞Sn. 4)are´ne´Goitatsildn1e:)mentssimren´el´ecemoopesselp´D n! ∗ , n∈N, n≥3. x(x+ 1)(x+ 2)...(x+n)
5)te:ndan´epeindntsoiQeu´ecoDursslempsitsneme´le´neresopmR(X), la fraction rationnelle 2 X−X+ 1 F(X) =. 4 2 X+X Quelles sont les primitives deF(X)?
Exercice 4(5 points) Onconsid`erelafonctionr´eelled’unevariabler´eelle: f:R−→R 2 x x7→f(x) =x e−1−x
1)Quelestl’ensembleded´efinitiondefapregnolorpaL?.´eitnutionrc 2) Montrer que le prolongement deftbdle´eerievsan0. Donner la valeur de cette de´riv´ee. 3)Donnersonde´veloppementlimit´een0o’drer`al3.
2
