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B.T.S. METIERS DE L'EAU
Durée : 2 heures
MATHEMATIQUES
SESSION 1998
Coefficient : 1,5
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
Exercice 1 ( 8 points )
Le dosage de l'azote total dans les eaux est obtenu suivant une méthode A normalisée et juste. Cette méthode A est caractérisée, pour des concentrations en azote total voisines de 10 1 1 % % s mg.Lpar un écart-typede 0,65mg.L.
On supposera donc que la concentration x de l'azote total d'un prélèvement d'eau suit la loi m normaleN;avec la" vraie" valeur inconnue. (m s!
X Soit lavariable aléatoire associant, à chaque groupe denmesures indépendantes d'un même prélèvement d'eau, la moyenne observée.
A - Eléments théoriques
Donner : m 1) l'espérance mathématique de la variable aléatoireen fonction de. X m 2) l'écart-type mathématique de la variable aléatoireen fonction deet de. s X 3) la loi suivie par la variable aléatoire. X
B- Application : justesse d'une autre méthode de dosage.
%1 On prépare une solution étalon à exactement 10,7mg.Ld'azote total. 1 % m On supposera donc dans cette question que= 10,7mg.L l ) En prenantn= 19, démontrer que :Prob(10,4£X£11!³0,95
On réalise, avec une méthode plus rapide, 19 mesures sur cette solution et les résultats en azote sont rassemblés dans le tableau suivant:
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N° du dosage1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 %1 9,74 10,6 11,0911,15 9,7210,85 10,95 9,9510,28 10,15 Azote enmg.L
N° du dosage11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 % 10,65 9,7810,85 9,9811,19 10,65 9,9510,25 11,15 Azote enmg.L
2) Calculer la moyenne expérimentale.
Que peut-on en conclure ?
C- Application : le nombrende mesures à effectuer.
Déterminer le plus petit entierntel que : (%0 5£m£ #0 5!³0 98 Prob X,X, ,
Indication: Onmontrera dans un premier temps que : æ0,5ö Prob(X%0,5£m£X#0,5!12P çn÷ %1 è ø s
1 % En déduire qu'il faut au moins 10 mesures pour connaître à 0,5mg.Let à un niveau de confiance de 98% la concentration en azote total d'un prélèvement.
Exercice 2 ( 12 points )
Partie A: Etude mathématique. l - On considère l'équation différentielle (E) : y"#2y'#2y12
où y désigne une fonction numérique de variable réelle x. a- Résoudre l'équation différentielle du second ordre : y"#2y'#2y10 u1 b- Vérifier que la fonction constantedéfinie pour tout réel x, paru(x) 1est une solution de l'équationdifférentielle (E). En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
2 - On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par :
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x % f(x) 1ecosxsinx 1 %(#! a) Démontrerque la fonctionfest une solution de (E). x % b) Vérifierque :f' (x)12esinx
é11pù c) Dresserle tableau de variation de f sur l'intervalle0; ê ú ë4û (On trouvera la représentation graphique de la fonction f en annexe)
3 - Soit g la fonction numérique de variable réelle x définie sur parg(x)f(x) 1 1 %
Tracer la courbe représentative de g. On choisira un repère orthogonal d'unités : 2 cm pour l'axe des abscisses, 200 cm pour l'axe des ordonnées.
Remarque pour la suite : La fonctionfest 1'unique solution de l'équation différentielle (E) vérifiant les conditions :f(0)f' (0)0 1 1
Partie B : Régulation de niveau d'un réservoir.
Une installation de dilution comprend un réservoir, des vannes et un système automatisé de régulation Le niveau étant stabilisé dans le réservoir, le recyclage du produit provoque à un moment précis une variation brusque de consigne: + 1 mètre. Le niveau n (en mètres), en fonction du temps t ( en minutes ), est la solution de l'équation différentielle : d²n dn 0,5 (t)#(t)#n(t)11 dt²dt
dn qui vérifien0(0) (0) 1 1 dt
Utiliser la partie Apour répondre aux deux questions suivantes :
1) Donner l'expression de la solutionn(t)
t 2) A quel instantmaxle réservoir est-il à son niveau maximal ? n(t) En déduire la hauteur de niveau du premier dépassement :max1 % Le résultat sera arrondi au dixième de centimètre.
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