Btsinfges 2002 mathematiques ii nouvelle caledonie

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BTS INFORMATIQUE DE GESTION SESSION 2002 EF2 : MATHÉMATIQUES II Durée : 1 heure Coefficient : 1 ÉPREUVE FACULTATIVE Le (la) candidat (e) doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. L'usage des calculatrices est autorisé. Le formulaire officiel de mathématique est joint au sujet. EXERCICE N° 1 (10 points) f x = 3+ x ln 1+ x .( ) ( ) ( )Soit f la fonction définie sur ]−1 ; +∞ [ par : r rO,i, j( )On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. 1) a) Montrer que le développement limité d’ordre 2, au voisinage de zéro, de la fonction f est : 1 2 2f ( x)= 3x− x + x ε( x) avec limε( x)= 0.x→02 b) Déduire de la question précédente une équation de la tangente ( T ) à ( C ) au point d’abscisse zéro et la position relative de ( C ) et ( T ) au voisinage de ce point. 2) a) A l’aide d’une intégration par parties calculer la valeur exacte de l’intégrale : 22+ t ln t dt( )∫ 1I = . t = 1+ x b) En déduire, en utilisant le changement de variable défini par , la valeur exacte de l’intégrale : 1= f x dx.( )∫ 0 J ...

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• Publié par: milo
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• Langue: Français

Extrait

BTS INFORMATIQUE DE GESTION

SESSION 2002

EF2

:

MATHÉMATIQUES II

Durée : 1 heure

Coefficient : 1

ÉPREUVE

FACULTATIVE

Le (la) candidat (e) doit traiter tous les exercices.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements

entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'usage des calculatrices est autorisé.

Le formulaire officiel de mathématique est joint au sujet.

EXERCICE N° 1

(10 points)

S

oit

f

la fonction définie sur ]

1

-

; +

∞

[ par :

( )

(

)

(

)

3

ln 1

.

f

x

x

x

=

+

+

On désigne par (

C

) la courbe représentative de

f

dans un repère

(

)

, ,

O i j

r r

orthonormé.

1)

a) Montrer que le développement limité d’ordre 2, au voisinage de zéro, de la fonction

f

est :

( )

( )

( )

2

2

0

1

3

avec

lim

0.

2

x

f

x

x

x

x

x

x

ε

ε

→

=

-

+

=

b) Déduire de la question précédente une équation de la tangente (

T

) à (

C

) au point d’abscisse zéro

et la position relative de (

C

) et (

T

) au voisinage de ce point.

2)

a) A l’aide d’une intégration par parties calculer la valeur exacte de l’intégrale :

I

=

(

)

2

1

2

ln d

t

t

t

+

∫

.

b) En déduire, en utilisant le changement de variable défini par

1

t

x

= +

, la valeur exacte

de l’intégrale :

J

( )

1

0

d .

f

x

x

=

∫