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Capesext deuxieme composition de mathematiques 2002 capes maths capes de mathematiques

5 pages
6Polynomˆ es `a valeurs enti`eres sur les nombres premiersObjectif. Le but de ce probl`eme est l’´etude d’ensembles de polynˆ omes prenant sur certaines parties desvaleurs particuli`eres et, notamment une caract´erisation des polynˆ omes prenant des valeurs enti`eres sur tousles nombres premiers.NOTATIONS.Si A et B d´esignent 2 ensembles, B ´etant inclus dans A, on noteA\B ={x∈A;x∈/ B}.∗On note :N l’ensemble des entiers naturels,N l’ensembleN\{0}Z l’ensemble des entiers relatifs;∗Qble des nombres rationnels,Q l’ensemble des rationnels positifs ou nuls,Q l’ensembleQ\{0};+R l’ensemble des nombres r´eels,R l’ensemble des r´eels positifs ou nuls;P l’ensemble des nombres premiers.+Pour tout nombre premier p, on note Z l’ensemble des rationnels dont une repr´esentation irr´eductible a(p)un d´enominateur non divisible par p.Pour tout r´eel x, on appelle partie enti`ere de x et on note bxc l’unique entier k v´erifiant k6x
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Polynˆomes`avaleursentie`ressurlesnombrespremiers
Objectif.Lebutdeceprobl`emeestle´tudedensemblesdepolynˆomesprenantsurcertainespartiesdes valeursparticuli`ereset,notammentunecaract´erisationdespolynoˆmesprenantdesvaleursentie`ressurtous les nombres premiers.
NOTATIONS. SiAetBe´dngis2tneesnembles,Buldsnas´etantincA, on note A\B={xA;x/ B}. On note :Nl’ensemble des entiers naturels,Nl’ensembleN\ {0} Z;l’ensemble des entiers relatifs Ql’ensemble des nombres rationnels,Q+l’ensemble des rationnels positifs ou nuls,Ql’ensembleQ\ {0}; Rblleednsemmbreesnole,srse´R+srdelembosspel´enuosfiti;sluneeslPl’ensemble des nombres premiers. Pour tout nombre premierp, on noteZ(p)cude´rrinoitatneeabltinoenaritdesemelbr´eserepntunlsdolsneunde´nominateurnondivisibleparp. Pourtoutre´elxleppapelano,re`edeierttienxet on notebxcl’unique entierkntaire´vk6x < k+ 1. On note : Q[Xl]elbdesnme´dnirete´nimeepoesnˆlyesomlenXnnle,s`acoecientsratio R[X]lneese´einrmte´endinlseemoˆnylopsedelbmXrtou,poulsetr´eenesteica`ocrutaletnetnrein,Rn[X] le sous-ensemble deR[X´ˆeormieesudreoddegers´peoilnyfn]ofmre´´ugelaa`n. Pour tous sous-ensemblesEetFdeR, on note : P(E, F) ={PR[X];P(E)F}, a`savoir,lensembledes´el´ementsdeR[Xalavelrunehcqaeu´el´ementdetnod]Eeitra`tnappaF. LespartiesA,B,Csontinde´pendantes,lapartieDutilisedesnotionsetre´sultatsdelapartieCuniquement, lapartieEutilisedesre´sultatsant´erieursquiserontenge´ne´ralpr´ecise´sdanslecoursdele´nonce´. A -seatrimenee´´lplesExem:P(Q,Q),P(R,R+),P(Q,Q+). A - I.Cactrae´irasitnoedP(Q,Q)e.dsemoˆnygnargaLe`alaidedespol j Soitmun entier naturel. Pour tous les entiersietjcompris entre 0 etm, on noteδle symbole i j i deKroneckerd´enipar:δ= 0 sii6=jetδ= 1. i i Soientq0,q1, .. .qm,mtsnc.sdeltiis+r1e´ A - I. 1.Expliciter, pourj= 0,1, . . . , mnˆompoly,eleLjdeRm[Xire´v]:tna j Lj(qi) =δpouri= 0,1, . . . , m. i A - I. 2.Montrer que la famille (Lj)06j6mmrofenuesebaldepaesveceel´elrieorctRm[X]. A-I.3.PourtoutpolynˆomePdeRm[X], exprimerPdans la base (Lj)06j6mrsedlee´cnofnoitens (P(qj))06j6m. A - I. 4.Comparer l’ensembleP(Q,Q) avec l’ensembleQ[X]. A - II.deltionmbleenseaCarirastce´P(R,R+). A-II.1.Montrerlapropri´et´esuivante:    4 22 22 22 2 (*)(a, b, c, d)R,(x, y)R, a+b c+d=x+y On exprimeraxetyen fonction dea,b,c,dP(.ousrourts´eeltetzopru,noetprarnieretr´ 2 2 t+zxe.)erocpmeldnuonbme´rraceleludomudmeomc A - II. 2.SoitA(oreotnnunifaiitmmoctatunanuuaenaddsdelutretsnemenee´´ll1se0etetenoiti de la multiplication). Montrerquelaproprie´te´(*)restevalablelorsquonremplaceRparA. On note :   2 2 S=zA| ∃xA,yA, z=x+y. Montrer queScontient 0 et 1 et est stable pour la multiplication. A - II. 3.SoitPnoundle´lmenent´eunP(R,R+).
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