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Capesext deuxieme composition de mathematiques 2005 capes maths capes de mathematiques

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– 2 –Sauf exceptions dumˆ ent signal´ees, chaque partie peut ˆetre trait´eeind´ependamment des autres.Dans tout le probl`eme, on se place dans le cadre d’un plan euclidien Π rapport´e→− −→`a un rep`ere orthonorm´e direct (O, ı ,  ) par rapport auquel les coordonn´eessont not´ees x et y. La droite Δ est d´efinie par son ´equation x =a ou` a est uneconstante r´eelle strictement positive; elle coupe l’axe des abscisses au point A.La notation :X ={M ϕ(x,y) = 0}d´esigne la partie X du plan d´efinie comme l’ensemble des points M dont lescoordonn´ees (x,y) v´erifient l’´egalit´eϕ(x,y) = 0; cette relation est alors appel´eeune´equation deX. Une d´efinition analogue est pos´ee dans le cas de coordonn´ees→−polaires (ρ,θ) par rapport au rep`ere form´e du pointO et de la demi-droiteR ı .+1 Premi`ere partieSoitk une constante r´eelle strictement positive. On note Φ la courbe d´ecrite parle point M de coordonn´ees :x =a+kcost, y =atant+ksinti h i hπ π π 3πou`td´ecritlar´eunion − , ∪ , .OnnoteH laprojectionorthogonale2 2 2 2de M sur Δ et Ω le point de Δ d’ordonn´ee atant.1.1 Dans le cas particuliera = 1,k = 2,´etudier la courbe Φ (variations,´etudeasymptotique, points singuliers, repr´esentation graphique...); on pourra s’aiderd’une calculatrice graphique.1.2 Donner l’allure de Φ dans le cas g´en´eral, en distinguant :a) les cas ou` 0a.1.3 D´eterminer une fonction polynomiale f `a deux variables telle quef(x,y) = 0 ...
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– 2 –
Saufexceptionsdˆumentsignal´ees,chaquepartiepeuteˆtretraite´e ind´ependammentdesautres.
Danstoutleproble`me,onseplacedanslecadredunplaneuclidienΠort´erapp `aunrepe`reorthonorme´direct(, O, ı)truapaopaprrseeonn´oordlescquel sontnote´esxety. La droiteΔoitantdne´sepaieonrsqu´ex=aou`aest une constanter´eellestrictementpositive;ellecoupelaxedesabscissesaupointA.
La notation :
X={M ϕ(x, y) = 0}
de´signelapartieXd´anniepldusdespointneesbmelcemoemlMdont les coordonne´es(x, y)eg´tlenierv´e´latiϕ(x, y) = 0easppteatlioornsrelale´teteec; une´equationdeXioitn´egulonana´soptseeelsnadeecasdecoordonn´eesnUde. −→ polaires(ρ, θ)aprrrtporeauerp`rofede´mioputnapOet de la demi-droiteR+ı.
Premie`repartie
Soitknocenutreslleer´teanstrapce´detiropisitevcietemtnlacourbe.OnnoteΦ le pointMonrdeesn:´dooec
x=a+kcost, y=atant+ksint i hi h π ππ3π ou`te´dlar´critoneuni,,. On noteHla projection orthogonale 2 22 2 deMΔedroodnne´esurΔetΩlepointdatant.
1.1Dans le cas particuliera= 1,kns,´atiovaribeΦ(ocrurealutid,2e´=dutee asymptotique,pointssinguliers,repre´sentationgraphique...);onpourrasaider d’une calculatrice graphique.
1.2eral´en´casgnsletn:gnausiite,dnonDderuadΦelrenllaa)lescaso`u0< k < a, b)lecasou`k=a, c)lescaso`uk > a.
1.3D´eterminerunefoitcnopnoonyllaimefeluqtslee`auxderivaleab f(x, y.Φedn=)tune0soiatio´equ
1.4eΦed.nurennoDtiuaeqe´irlapoon
1.5stnige´rlrenopseetD´mieruliersMde Φ et donner en ces points les coor-donne´esdunvecteurnormal.
1.6nidsretitcenoiotndspu´needrnoscooerlelculCaRde la normale enM avecladroited´equationy=atantu`osacedanslMs`pantiexeaaltrappan des abscisses. Que peut-on dire du triangleROΩ ?