Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

Capesext deuxieme composition de mathematiques 2007 capes maths capes de mathematiques

10 pages
À propos d’un théorème de Tchebychevsur la répartition des nombres premiersIntroductionÉtant donné un entier naturel n, on considère (n) le nombre de nombres pre-miers compris entre 0 etn. Ce sujet s’intéresse au comportement de la suite ((n)) .nIl est composé de deux grandes parties A et B.La partie A vise à établir l’encadrement suivant :n n(ln 2) 6(n)6 elnn lnnvalable pour tout n> 3. Elle est composée de deux sous-parties, A.I et A.II, consa-crées respectivement à la minoration et à la majoration annoncées.Ce genre d’encadrement suggère l’existence d’un lien asymptotique fort entre nles suites ((n)) et . La partie B s’intéresse à cette question puisque sonnlnn nobjectif principal est de montrer le résultat suivant :n1 Théorème.— (Tchebychev ) S’il existe un réel c> 0 telle que (n) c alorsn lnnnécessairement c = 1.Elle est composée de quatre sous-parties B.I, B.II, B.III et B.IV. C’est dans la par-tie B.III qu’on établit le théorème annoncé. La preuve qu’on en propose repose sur !X 1l’étude du comportement asymptotique de la suite . Cette étude estpp premier6n nréalisée au début de la partie B.III. Les parties B.I et B.II sont consacrées à l’éta-blissement de formules importantes pour la suite. Dans la partie B.I on établit une2formule due à Legendre qui donne l’expression de la valuationp-adique den!. Dans3la partie B.II on démontre un théorème de Mertens qui précise le comportement !X lnpasymptotique de la suite . La partie B ...
Voir plus Voir moins
à propos d’un thÉorÈme de Tchebychev sur la rÉpartition des nombres premiers
Introduction Ètant donn un entier natureln, on considreπ(n)le nombre de nombres pre-miers compris entre0etn. Ce sujet s’intresse au comportement de la suite(π(n))n. Il est compos de deux grandes parties A et B. La partie A vise á tablir l’encadrement suivant : n n (ln 2)6π(n)6e lnnlnn valable pour toutn>3. Elle est compose de deux sous-parties, A.I et A.II, consa-cres respectivement á la minoration et á la majoration annonces. Ce genre d’encadrement suggre l’existence d’un lien asymptotique fort entre   n les suites(π(n))nLa partie B s’intresse á cette question puisque sonet . lnnn objectif principal est de montrer le rsultat suivant : n 1 Thorme.—(Tchebychev )S’il existe un rÉelc >0telle queπ(n)calors n lnn nÉcessairementc= 1. Elle est compose de quatre sous-parties B.I, B.II, B.III et B.IV. C’est dans la par-tie B.III qu’on tablit le thorme annonc. La preuve qu’on en propose repose sur  ! X 1 l’tude du comportement asymptotique de la suite . Cette tude est p ppremier6n n ralise au dbut de la partie B.III. Les parties B.I et B.II sont consacres á l’ta-blissement de formules importantes pour la suite. Dans la partie B.I on tablit une 2 formule due á Legendre qui donne l’expression de lavaluationp-adiqueden!. Dans 3 la partie B.II on dmontre un thorme de Mertens qui prcise le comportement  ! X lnp asymptotique de la suite . La partie B.IV est une application de p ppremier6n n la formule asymptotique trouve dans la partie B.III. On y tudie ladensitÉde l’ensemble des entiers possdant degrands facteurs premiers. â la fin du sujet, une note documentaire met en perspective, d’un point de vue historique, le thorme de Tchebychev dmontr ici. Sa lecture n’est pas essentielle au bon traitement du sujet. Les parties de ce problme ne sont pas indpendantes entre elles.
1 Pafnouti Lvovitch Tchebychev, mathÉmaticien russe, Okatovo 1821 – Saint-PÉtersbourg 1894. 2 Adrien-Marie Legendre, mathÉmaticien franÇais, Paris 1752 – Auteuil 1833. 3 Franz Mertens, mathÉmaticien autrichien, 1840 – 1927.
1
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin