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Notationsetobjetduproble`me
Onde´signepar: Nl’ensemble des entiers naturels; Z;l’anneau des entiers relatifs Qle corps des nombres rationnels; Ql’ensemble des nombres rationnels non nuls; Relproc;ssrreel´eessdmbno ∗ ∗ R[resp.R];s]l´eeldesrmbleensets.pser[slunnonsifitostpenemctri + Cle corps des nombres complexes; C;l’ensemble des nombres complexes non nuls Z[x]fita.snofseduaopsnoitcneanlstneicnersleitremiallynocoees`a Pour tout entier natureln,on noten!la factorielle denavec la convention0! = 1. Sif´endniioctonefuntsesurnieed´eavlbe´irnedtnmiRs`ra´vealeursetellekest un entier (k) naturel non nul, on notefriv´eedordrenofale´dnoitckdef.On utilise la convention habituelle, (0) f=f. SiItetniutsee´lellrereavintnunpoit`a´edunonrfoitcnofenueedblvari´endIdansC,on 0 f rappellequelad´eriv´eelogarithmiquedefest la fonction. f Lapremie`repartiedeceproble`meestconsacr´ee`alad´emonstrationdequelquesr´esultatsutiles pour la suite. Dansladeuxi`emepartie,`apartirdunecaracte´risationdessousgroupesadditifsdeR(ils sont densesoudiscrets),onde´duituncrit`eredirrationalite´etonde´critunem´ethodepermettantde prouverquunr´eelestirrationnel. r Cetteme´thodeestutilis´eedanslatroisi`emepartiepourmontrerlirrationalite´deepour tout nombre rationnel non nulr.xomiparpsnartaoinelltionesCeproc´e´demrepe´teelagntmeobdniteesrd de la fonction exponentielle. Danslaquatri`emepartieonsinte´resseauxracinesr´eellesdessolutionsdune´equationdie´rentielle line´airedordre2etpntnessnatnoocntsncieacoe`neci´esrleelessditrailucasrearxuofcnitnodse Bessel d’indice entier. Enndanslacinqui`emepartie,onmontrequelesracinesr´eellesnonnullesdesfonctionsde Besseldindiceentiersontirrationnellesenutilisantunem´ethodevoisinedecellede´critedansla deuxi`emepartie.
Onrappellelaformuledint´egrationparpartiesite´r´ee:sia, bqseusrdentsoelstel´ea < b, nun entier naturel non nul etf, gdofseitcndsnon´essielurteinlealrv[a, b]datesellee´rsruealav`antmett desde´rive´escontinuesjusqu`alordren,alors : " # b ZnZ b b X (n)k+1 (nk) (k1)n(n) f(t)g(t)dt= (1)f g+ (1)f(t)g(t)dt. a a k=1 a
IR´esultatspr´eliminaires
Pourcettepartie,onde´signeparpun entier naturel, parPune fonction polynomiale dansZ[x] nonidentiquementnulle,dedegr´ep,et parnun entier naturel. 1. SoitQdee´imlaap:rneinctilafolynoonpo n x xR, Q(x) =P(x). n! 1