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Fonctions À variations bornÉes
Introduction
Dans ce problme, on s’intresse auxfonctions À variations bornÉes. Cette notion 1 2 a t introduite en 1881 par Jordan pour tendre un thorme de Dirichlet sur 3 la convergence des sries de Fourier . Il est compos de sept parties A, B, C, D, E, F et G. Dans la partie A on tablit quelques proprits lmentaires relatives aux fonc-tions À variations bornes. En introduction de la partie B, on dfinit une notion de longueur borne et de longueur pour les fonctions À valeurs dansR. Son objectif est d’tablir des proprits gnrales sur cette notion : une ingalit triangulaire, une relation de Chasles... Dans la partie C on tablit l’quivalence entre “tre de longueur borne sur tout segment” et “tre À variations bornes”. La partie D se consacre au 1 cas des fonctions de classeC. On y dmontre qu’elles sont toujours de longueur borne et on donne une formule pour calculer leur longueur. La partie E s’intresse au cas des fonctions priodiques. La partie F est consacre À l’tude d’un exemple. Dans la partie G, on tend les dfinitions et les proprits prsentes prcdemment n aux cas des fonctions À valeurs dansR. Sauf mentions contraires explicites dans le texte, les parties de ce sujet ne sont pasa prioriindpendantes.
Notations et dÉfinition
n n PournNetAR,F(A,R)dsigne l’ensemble des fonctions deAversR. n Pour toutf∈ F(A,R)etBA,f|Bdsigne la restriction defÀB. Dans tout le problme,Idsignera un intervalle deRnon vide et non rduit À un point. Pourf∈ F(I,R), on dit quefest À variations bornèes lorsqu’il existe g∈ F(I,R)croissante eth∈ F(I,R)dècroissante telles quef=g+h.
A. PremiÈres propriÉtÉs
A1Ètablir que toute fonction monotone dfinie surIest À variations bornes. A2aMontrer que l’ensemble des fonctions À variations bornes dfinies surIest un sous-espace vectoriel deF(I,R). A2bÈtablir que ce sous-espace est engendr par l’ensemble des fonctions croissantes surI. Dans la fin de cette partie, on considÈref∈ F(I,R)une fonction À variations bornÉes, etaetbdeux ÉlÉments deItels quea < b. A3SoitαI. Dmontrer qu’il existek∈ F(I,R)croissante etl∈ F(I,R)d-croissante telles quef=k+letk(α) = 0. 1 Camille Marie Ennenmond Jordan, mathÉmaticien franÇais, Lyon 1838 – Paris 1922. 2 Gustav Peter Dirichlet, mathÉmaticien allemand, Dren 1805 – Gttingen 1859. 3 Joseph Jean-Baptiste Fourier, mathÉmaticien franÇais, Auxerre 1768 – Paris 1830.
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