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CCENS 2000 mathematiques paris, lyon, cachan classe prepa pc

5 pages
ULC 021 J. O908 SESSION 2000 Filière Physique - Chimie MATHÉMATIQUES (Épreuve commune aux ENS : Ulm, Lyon et Cachan) DURÉE : 4 heures L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Tournez la page S.V.P. -L- Avertissement: Les labels Qn, avec O 5 n 5 13 indiquent les questions, certaines étant découpées en sous-questions numérotées de 1 à j, avec j 5 5. Le d’entre elles problème s’achève avec l’étude de deux exemples. Notations Le problème concerne l’étude des matrices carrées à coefficients réels, dont l’ensemble est noté M,(IR). La matrice nulle est notée O, et la matrice identité est 1,. L’ensemble GL, (IR) des matrices inversibles forme un groupe (dit groupe linéaire) pour la multipli- cation des matrices. Ses Cléments sont les matrices de déterminant non nul. On notera O(n) le groupe orthogonal et S(n) l’ensemble des matrices symétriques réelles à n lignes. On a donc O(n) c GL,(IR) c M,(IR) et S(n) C M,(R). Rappelons que O(n) est l’ensemble des matrices M de M,(IR) qui satisfont tMM = In ou, ce qui revient au même, M tM = In, On identifie canoniquement les vecteurs de IR” aux matrices colonnes à n lignes. En particulier, Ml(IR) est identifié à R. On admettra l’énoncé suivant (interpolation polynomiale) : si dl ...
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