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CCENS 2001 mathematiques classe prepa b/l

5 pages
ENSSESSION DE 2001COMPOSITION DE MATHEMATIQUESSujet commun : ENS Ulm-Cachan-FontenayDurØe : 4 heuresL ØnoncØ comporte 5 pagesCalculatrice autorisØe1/5EXERCICEIOn jette au hasard r jetons dans n boites (n> 3) de la fa on suivante : chaque jeton a la mŒme probabilitØ detomber dans chacune des boites et on suppose que les jetons sont lancØs indØpendamment les uns des autres.Łme1. Soit A l ØvŁnement " la i boite n?a pas re u de jeton ". Calculer P(A ):i i2. Soit N le nombre de bo tes n?ayant pas re u de jeton. Calculer E(N ) (on pourra exprimer N en fonctionn n ndes variables 1 pour i2f1;::;ng oø 1 prend ses valeurs dansf0;1g et vaut 1 si et seulement l?ØvŁnementA Ai iA est rØalisØ).i2 23. Calculer P(A \A ) pour tout (i;j)2f1;::;ng puis calculer E(N ): En dØduire la variance V(N ) de N :i j n nn4. On considŁre ici un nombre variable n de boites et l on fait dØpendre r de n (on notera alors r = r ): Onnrnsuppose qu il existe c2R tel que !c lorsque n tend vers l?in ni.n(a) Calculer la limite de E(N =n) lorsque n tend vers l?in ni.n(b) la limite de V(N =n) lorsque n tend vers l?in ni.n2 2(c) Soit "> 0: Montrer que " 1 6 (N =n E(N =n)) :n njN =n E(N =n)j>"n nEn dØduire que P(jN =n E(N =n)j> ") ! 0 lorsque n tend vers l?in ni. Quelle est la signi cationn nde ce rØsultat ?EXERCICEII2 2Soit f apl plication de R dans R dØ?nie par (x;y) 7! (2x + 3y;x + 2y), et A la matrice de f dans la base2canonique deR :2 2 2 2 2 2On dØ nit C =f(x;y)2R = x 3y = 1g et E ...
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ENS
SESSION DE 2001
COMPOSITIONDEMATHEMATIQUES
Sujet commun :ENS Ulm-Cachan-Fontenay
Durée :4 heures
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