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CCENS 2001 mathematiques paris et cachan classe prepa mp

8 pages
J. 5107 UC113 SESSION 2001 Filière MP MATHÉMATIQUES Épreuve commune aux ENS : Ulm et Cachan Durée : 4 heures L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Préambule On assimile les éléments de LT’ ù des vecteurs colonnes Xl x= : Xll i. ! La transposée d’une matrice A est notée tA. on note (x , y) le produit scalaire euclidien entre x et y: Pour 2, y E R”, (x ) y) = CXiYi = tql i=l et \Ix[\ la norme euclidienne associée. On note S, l’ensemble des matrices symétriques réelles n x n, muni de la norme Tournez la page S.V.P. 1 Line distance sur un ensemble E est une applzcatzon d : E x E t [O. +oo[ telle que: l VX, ?J E J!? : d(X. y) = 0 e X = ?J . Vx, y E E : d(x. y) = d(y, x) Sz F est une Jonctzon de classe c” de R” dans R, et .c E Rn, on note VF(x) le graduent de F, recteur colonne dont la ièrne (~oortlonnée est la dhavle partzrlle E thluPr en .c. On dit ,u ‘un sous-ensemble 12 C R’” est ronnexce par arcs sz pour tous a, b E R, II ex-l.ste une fonctzon rontznue f : [O, l] + Fi’” trlle qne f(U) = 0. f( 1) = h et pour tout t E [O, 11: f(t) E (2. Les dlffh-entes parties peuvent ètre tr7iztée.s zndép?ndamment les unes des autrc.s. tjn admettant au beso?n les rksultats de la partw II pour les portles III et IV. ...
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