Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

CCENS 2003 mathematiques paris et lyon classe prepa mp

8 pages
UL 311 J. 5006 SESSION 2003 Filière MP MATHÉMATIQUES Epreuve commune aux ENS de Paris et Lyon Durée : 6 heures L’usage de toute calculatrice est interdit. Aucun document n’est autorisé. Tournez la page S.V.P. Les symboles C, R, Q, Z et N d´ esignent respectivement le corps des nombres com-plexes, le corps des nombres r´eels, le corps des nombres rationnels, l’anneau des entiersrelatifs et l’ensemble des entiers naturels.Dans tout ce probl`eme, D est un entier impair sans facteur carr´e. Si S ={p ,...,p},1 so`u s est le cardinal de S, est l’ensemble des nombres premiers divisant D, alors 2∈/ SetDest le produit des p,pour1≤ i≤ s.i2L’objet du probl`eme est l’´etude de l’ensemble C(Q)dessolutions( x, y) ∈ Q de2 3 2l’´equation y = x − D x,avecx>0. Plus pr´ecis´ement, il s’agit de d´emontrer que l’onpeut munir C(Q)=C(Q)∪{∞}d’une structure de groupe commutatif de type fini (cas2particulier du th´eor`eme de Mordell-Weil). On note C l’ensemble des solutions dansR de2 3 2 2l’´equation y = x − D x,avecx>0; on a donc C(Q)=C∩Q .La partie I donne un crit`ere permettant de montrer qu’un groupe commutatif est detype fini. La partie II munit C=C∪{∞}d’une structure de groupe commutatif. Lapartie III donne un certain nombre de formules relatives a` cette loi de groupe, et la partieIV est consacr´ee `alad´emonstration du th´eor`eme de Mordell-Weil. Ces 4 parties reposentsur des ...
Voir plus Voir moins
UL 311
SESSION 2003
Filière MP
MATHÉMATIQUES
Epreuve commune aux ENS de Paris et Lyon
Durée : 6 heures
L’usage de toute calculatrice est interdit.
Aucun document n’est autorisé.
J. 5006
Tournez la page S.V.P.
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin