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A 2002 PSI 1 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D’ADMISSION 2002 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE Filière PSI (Durée de lépreuve:3 heures) (Lusage dordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière PSI.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Étant donnée une fonctionfréelle, définie sur le segment0, 1, indéfiniment dérivable, soit la suiar les relations suivantes : unNte réelle définie p n n 1 11 1 U)u01 ; pour tout entiernstrictement positif,unff f...f. n k1 2 k1 n SoitRle rayon de convergence de la série entière de terme généralunx,n0, 1, 2,. Soit Fla somme de cette série entière ; son ensemble de définition est l’ensemble des points en lesquels la série entière est convergente. Elle est définie par la relation suivante : n Fxunx. n0
Première partie I-1.Rayon de convergence: a. Exemples : étant donnés un réeldifférent de 00et un entier naturelpdifférent de 0p1, déterminer les rayons de convergence et les sommesF1,F2etF3des séries entières n de terme généralunx, lorsque la fonctionfest successivement définie par l’une des trois relations suivantes : f1t;f2tt;f3tp t1. Préciser les ensembles de définition des trois fonctionsF1,F2etF3; pour déterminer la n fonctionF3, exprimer le coefficientunpournp1 au moyen du coefficient du binômeCp1
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