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A 2004 Math PC 1
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2004
` ´´ PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`rePC (Dure´edele´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT,TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremi`erepagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES1-Filie`rePC.
Cete´nonc´ecomporte5pagesdetexte.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd´enonce´,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilestamene´`aprendre.
Ceproble`memeten´evidenceparuneme´thodeoriginaleunepropri´et´eetunem´ethodedecalculde lamoyenneetdelavariancebienconnuesenProbabilit´es.
SoitSensllleeestius´rselbmesedeU= (untous les termes) dontunsont positifs ou nuls et la nN somme´egale`a1: ( ) X S=U|U= (un),n, un0, un= 1. nN n=0 SoitFonctdesfmbleensellse´reeoisnlfqiuessdmeomssdentsoredere`itneeire´yanoedocvnreegcne Regtnvnresruqseol´eelelersup´erieurou´e`lagc;1a´sseeirentseeri`soescontxelte1a`lemmosru´egaest vaut1encepoint;touteslesd´erive´esdesfonctionsfen 0 sont positives ou nulles : ( ) ∞ ∞ X X n(n) F=f|f(x) =anx ,an= 1, R1,n, f(0)0. n=0n=0 ` A une suiteU= (unppraa,)aneta`tnSi´oclaeencfoontise,ssatfationsuivante:de´neiaplrrale nN X n f(x) =unx . n=0 b Soitjplaplnaioatic´deniisin:eU7f=j(U) ; la fonctionj(Ueenot´)estU.
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