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CCP 2003 mathematiques 1 classe prepa mp

5 pages
SESSION 2003 EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. * * * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE Notations : On note E l’espace vectoriel des applications continues de [-1,1] dans !. On désigne par E l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de [-1,1] dans ! de degré ninférieur ou égal à n où n est un entier naturel. On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale. Si f est un élément de E, on pose f = sup f(x) . ∞x∈[]−1 ,1 Les parties II., III. sont indépendantes et utilisent les résultats de la partie I. I. Polynômes de Tchebychev Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel. 1. Existence et unicité a) Déterminer un polynôme T à coefficients réels de degré n vérifiant la propriété (*): (*) : ∀θ∈! , T(cosθ)= cos(nθ) . n (on pourra remarquer que cos(nθ) est la partie réelle de (cosθθ+ i sin ) ). b) Montrer qu’un polynôme vérifiant (*) est unique. On l’appelle le polynôme de Tchebychev d’indice n, on le note T . n On définit ...
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SESSION 2003
EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures
Les calculatricessontinterdites. * * * NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE Notations: On noteEl’espace vectoriel des applications continues de [1,1] dans!.On désigne parE l’espacevectoriel des fonctions polynomiales de [1,1] dans!de degré n inférieur ou égal ànnest un entier naturel. On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale. Sifest un élément deE, on posef=supf(x).x[1 ,1] Les parties II., III. sont indépendantes et utilisent les résultats de la partie I. I. Polynômesde Tchebychev Dans toute cette partie,ndésigne un entier naturel. 1. Existenceet unicité a)un polynôme DéterminerTà coefficients réels de degrénvérifiant la propriété (*): (*) :∀ ∈!,T(cos)=cos(nθ).n  (onpourra remarquer quecos(nθla partie réelle de(cos) estθ+isinθ) ). b)Montrer qu’un polynôme vérifiant (*) est unique.  Onl’appelle le polynôme de Tchebychev d’indicen, on le noteT. n On définit alors une fonction polynomiale sur [1,1] par : x[1, 1],T(x)=cos(narcosx). n Tournez la page S.V.P.
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