CCP 2003 mathematiques 2 classe prepa mp

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SESSION 2003 EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. * * * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de M ! ( )n Notations Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note : M ! : la ! -algèbre des matrices carrées réelles d’ordre n. ()nM ! : le ! -espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne. ()n,1tPour une matrice A de M ! , A est sa matrice transposée, rang (A) son rang et Tr (A) sa trace. ()nI : la matrice unité de M ! . ()nnS ! : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de M ! . () ( )n nA ! : atrices antisymétriques de M ! . () ( )n n+S ! : l’ensemble des matrices positives de S ! c’est-à-dire des matrices A de S ! () ( ) ( )n n ntvérifiant : pour toute matrice X ∈M ! , X A X ≥ 0 . ( )n,1GL (! ) : le groupe des matrices inversibles de M ! . ( )nnO ! : le groupe des matrices réelles orthogonales c’est-à-dire des matrices M de M ! () ( )n ntvérifiant : M M = I . nPour p entier naturel, ∆ est l’ensemble des matrices de M ! de rang ...

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SESSION 2003

EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatricessontinterdites. * * * NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Calculs de distances entre une matrice et certaines partiesde M n ( ! ) Notations Dans ce sujet,nest un entier naturel non nul et on note : M n ( ! ) :!gèbre des matrices carrées réelles d’ordren. la al : leespace vectoriel des matrices ànlignes et à une colonne. M n,1 ( ! ) ! t Pour une matriceAdeM ( ! ) ,Aest sa matrice transposée, rang(A) sonrang et Tr(Atrace.) sa n I: la ma n trice unité de M n ( ! ) . S n ( ! ) :le sousespace vectoriel des matrices symétriques de M n ! ) . A n ( ! ) e sousespace vectoriel des matrices antisymétriques deM n ( ! ) . : l + : l’ensemble des matrices positiveses matricesA de S n ( ! )  de S n ( ! )  c’estàdired S n ( ! ) t vérifiant : pour toute matrice M n,1 ( ! ) ,X AX ≥ 0 .∈ GL (!) : le groupe des matrices inversibles de M n ! ) . n O n ( ! ) : le groupe des matrices réelles orthogonales c’estàdire des matricesM de M n ( ! ) t vérifiant :M M=I. n Pourpentier naturel, ∆ est l’ensemble des matrices de M n ! ) de rang supérieur ou égal àpet p ∇ est l’ensemble des matrices de M n ! ) de rang inférieur ou égal àp. p

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