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Concours communs polytechniques
Epreuve spécifique filière PSI- Session 2004
Mathématiques I
: 4 heures
Calculatrices autorisées.
Notations et but du problème
0
E
est le R espace vectoriel des fonctions
f
définies sur R
+
, à valeurs réelles, de
classe c
1
sur R
+
et vérifiant
(
29
0
0
f
=
.
1
E
est l’ensemble des fonctions
f
appartenant à
0
E
et telles que la fonction
(
29
2
f
t
t
t
a
soit intégrable sur
*
R
+
.
2
E
est l’ensemble des fonctions
f
appartenant à
0
E
et telles que la fonction
(
29
(
29
2
'
t
f
t
a
soit intégrable sur
R
+
.
On note :
(
29
(
29
*
1/ 2
2
1
R
f
t
N
f
dt
t
+
=
pour
1
f
E
;
(
29
(
29
(
29
1/ 2
2
2
'
R
N
f
f
t
dt
+
=
pour
2
f
E
;
Le but du problème est de comparer les ensembles
1
E
et
2
E
d’une part, les
fonctions
1
N
et
2
N
d’autre part.
Les parties I et II sont consacrées à deux exemples, la partie III aborde le
problème de comparaison de façon plus générale.
Partie I – Exemple I
Dans cette partie on suppose que
f
est la fonction définie sur R
+
par
(
29
tan
f t
Arc
t
=
.
1.
Montrer que
f
appartient à
1
E
.
2.
Montrer que, pour tout
*
x
R
+
, la fonction
(
29
(
29
2
2
2
1
:
1
x
H
t
t
t
x
+
+
a
est
intégrable sur R
+
et qu’en particulier
f
appartient à
2
E
.
3.
Calcul de
(
29
2
N
f
. Pour
*
x
R
+
, on note
(
29
(
29
x
R
x
H
t dt
ϕ
+
=
.
3.1. Montrer que la fonction
ϕ
est continue sur
*
R
+
.
3.2. Soit
*
x
R
+
,
1
x
; décomposer en éléments simples la fraction
rationnelle de la variable
T
,
(
29
(
29
2
1
1
T
T
x
+
+
.
3.3. En déduire l’expression explicite de
(
29
x
ϕ
pour
*
x
R
+
,
1
x
.
3.4. Quelle est la valeur de
(
29
2
N
f
?
4.
Etudier le signe de
tan
u
Arc
u
-
pour
u
R
+
.