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Lescalculatricessontautorisees ? ? ?? NB.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportancealaclarte,alaprecisionetala concisiondelaredaction. Siuncandidatestameneareperercequipeutluisemblerˆetreuneerreurdenonce,ille signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quilaeteameneaprendre. Objet :LatransflompletiouunstreeiruoFednoitamroEneur.eniingdsleneecsnicyee plusdˆetrelineaire,elleveriedenombreusesproprietes.Nousnousproposonsdenetablir quelques-unesennouslimitantaunespacevectorielparticulier. I.-Preliminaires On noteC(R,C) l’espace vectoriel surCtnninemiitnodsedseofcnntinues,nies,co derivablesdeRdansC. 2 ∞ t On notePle sous-espace vectoriel deC(R,C) des fonctionsfde la formef(t) =P(t)e ouPientscomplexes.ylopmoˆncaeceoeunst Pour toutnentier naturel, on notePn, le sous-espace vectoriel dePdes fonctionsfde la 2 t formef(t) =P(t)eouPreinferxieesudredegstocpmeloceicneˆoynametuesolnp ouegalan. I-1) Quelquesendomorphismes qui nous seront utiles SoientT,D,Ssapptroi,uaqsiuitnoilacontincfonefdeC(R,C) associent respec-tivement les fonctions suivantes : T(f) =gavec pour toutterelg(t) =tf(t) 0 D(f) =f S(f) =havec pour touttleerh(t) =f(t) Montrer que les applicationsT,D,Snucaenueessihctndneismedendomorph C(R,C). 1 Montrer queSest un automorphisme. DonnerS. I-2)Etudedesintegralesutilisees Z +2 t a)Justier l’existence deJ=e dt. ∞ DenombreusesmethodespermettentdobtenirJ=. On l’admettra. Z +2 t Endeduirelavaleurde:e dt. ∞