CCP 2004 mathematiques 1 classe prepa tsi

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CCP TSI 2004 Maths 1 page 1CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUESEPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSIMATHEMATIQUES 1Dur´ee : 4 heuresLes calculatrices sont autoris´ees????NB. : Le candidat attachera la plus grande importance `a la clart´e, a` la pr´ecision et `a laconcision de la r´edaction.Si un candidat est amen´e `a rep´erer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il lesignalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiativesqu’il a ´et´e amen´e `a prendre.Objet : La transformation de Fourier est un outil employ´e en sciences de l’ing´enieur. Enplus d’ˆetre lin´eaire, elle v´erifie de nombreuses propri´et´es. Nous nous proposons d’en ´etablirquelques-unes en nous limitant `a un espace vectoriel particulier.I. - Pr´eliminaires∞On note C (R,C) l’espace vectoriel sur C des fonctions d´efinies, continues, infinimentd´erivables deR dansC.2∞ −πtOnnoteP lesous-espacevectorieldeC (R,C)desfonctionsf delaformef(t)=P(t)eou` P est un polynˆome `a coefficients complexes.Pour tout n entier naturel, on noteP , le sous-espace vectoriel deP des fonctions f de lan2−πtforme f(t) = P(t)e ou` P est un polynˆome `a coefficients complexes de degr´e inf´erieurou ´egal `a n.I-1) Quelques endomorphismes qui nous seront utiles∞Soient T, D, S trois applications qui, `a une fonction f deC (R,C) associent respec-tivement les fonctions suivantes :T(f)=g avec pour tout t r´eel g(t)=tf(t)0D(f)=fS(f)=h avec pour tout t r´eel ...

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CCP TSI 2004 Maths 1

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 1

Duree:4heures

page 1

Lescalculatricessontautorisees ? ? ?? NB.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportancealaclarte,alaprecisionetala concisiondelaredaction. Siuncandidatestameneareperercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd’enonce,ille signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’ilaeteameneaprendre. Objet :LatransflompletiouunstreeiruoFednoitamroEneur.eni’ingdsleneecsnicyee plusd’ˆetrelineaire,elleveriedenombreusesproprietes.Nousnousproposonsd’enetablir quelques-unesennouslimitantaunespacevectorielparticulier. I.-Preliminaires ∞ On noteC(R,C) l’espace vectoriel surCtnninemiitnodsedseofcnntinues,nies,co derivablesdeRdansC. 2 ∞ t On notePle sous-espace vectoriel deC(R,C) des fonctionsfde la formef(t) =P(t)e ouPientscomplexes.ylopmoˆncaeceoeunst Pour toutnentier naturel, on noteP n , le sous-espace vectoriel dePdes fonctionsfde la 2 t formef(t) =P(t)eouPreinferxieesudredegstocpmeloceicneˆoynametuesolnp ouegalan. I-1) Quelquesendomorphismes qui nous seront utiles ∞ SoientT,D,Ssapptroi,uaqsiuitnoilacontincfonefdeC(R,C) associent respec- tivement les fonctions suivantes : T(f) =gavec pour toutterelg(t) =tf(t) 0 D(f) =f S(f) =havec pour touttleerh(t) =f(t) Montrer que les applicationsT,D,Snucaenueessihctndneismedendomorph ∞ C(R,C). 1 Montrer queSest un automorphisme. DonnerS.  I-2)Etudedesintegralesutilisees Z +∞ 2 t a)Justier l’existence deJ=e dt. ∞ √ Denombreusesmethodespermettentd’obtenirJ=. On l’admettra. Z +∞ 2 t Endeduirelavaleurde:e dt. ∞