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CCP 2004 mathematiques 2 classe prepa pc

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6Concours CCP 2004Epreuve speci que - Filiere PCMATHEMATIQUES 2Duree : 4 heuresLes calculatrices sont interdites****N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte,a la precision et a la concision de la redaction.Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’enonce,il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa compositionen expliquant les raisons des initiatives qu’il a ete amene a prendre.****La partie II peut ˆetre traitee independamment des parties I et III.Partie I+∞Xs nOn considere la serie entiere n z de la variable complexe z, ou s est un nombren=1reel donne.I.1 Determiner le rayon de convergence de cette serie entiere.i I.2 Dans cette question, z = e designe un nombre complexe de module 1.+∞Xs nI.2.1 Etudiez la convergence de n z dans le cas ou s > 1 ainsi que dans len=1cas ou s 0.+∞Xs nI.2.2 Dans le cas ou 0 < s 1, etudier la convergence de n z pour z = 1.n=1I.2.3 Toujours dans le cas ou 0 < s 1, on suppose que z = 1. On pose S = 00nX ket pour tout nombre entier n∈N , S = z .nk=11Montrer que|S | M() pour tout n∈N, avec M() = .n sin 2kEn ecrivant z sous la forme S S pour tout nombre entier k ∈ N,k k 1montrer que :n n 1X X s k s s s∀n∈N , k z = S [k (k +1) ] +S n .k nk=1 k=11+∞Xs sMontrer que la serie S [n (n+1) ] est convergente et en deduire que la serienn=1+∞Xs nn z est convergente.n=1+∞Xs ...
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Concours CCP 2004 Epreuvesp´ecique-Fili`erePC MATHEMATIQUES 2 Dure´e:4heures
Les calculatrices sont interdites **** N.B.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´, a`lapre´cisionet`alaconcisiondelare´daction. Siuncandidatestamene´a`repe´rercequipeutluisemblerˆetreuneerreurde´nonce´, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition enexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilae´t´eamen´ea`prendre. **** LapartieIIpeutˆetretrait´eeind´ependammentdespartiesIetIII.
Partie I +X s n Onconside`relase´rieenti`eren zde la variable complexezu,`osest un nombre n=1 r´eeldonn´e.
I.1re`e.imrete´Dyarelrenondeconvergencedceteet´sreeineit I.2Dans cette question,z=e.drbcennmonguee´isule1emodexedompl +X s n I.2.1Etudiez la convergence den znalscesao`uds >1 ainsi que dans le n=1 casou`s0. +X s n I.2.2asecu0o`Dslan< snegrevnoedecet,´1acrlieudn zpourz= 1. n=1 I.2.3oTjuadsnuosrcale`uso0< s1, on suppose quez6= 1.On poseS0= 0 n X k et pour tout nombre entiernN,Sn=z. k=1 1 Montrer que|Sn| ≤M(θ) pour toutnN, avecM(θ) =. θ sin   2 k Ene´crivantzsous la formeSkSk1pour tout nombre entierkN, montrer que : n n1 X X ∗ −s ksss nN, kz=Sk[k(k] ++ 1)Snn . k=1k=1
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