CCSE 2002 mathematiques 1 classe prepa pc

Description

Concours Centrale - Supélec 2002 Filière PC Épreuve : MATHÉMATIQUES I I Soit NE lX:3 ; on suppose que t E ]O.n[ est tel que z,(t) + 0 si 0 5 n s N - 1 La première partie de ce problème est consacrée à la description d’une procédure géométrique qui aboutit naturellement à la construction d’une fonction continue a) Montrer que, pour ces valeurs de n , N : ]OJ[ - IK que l’on étudie sommairement à la Partie II. La troisième partie s’,,(t)b-y,(t) = tan( 7”t) concerne les propriétés de dérivabilité des fonctions continues ?n- périodiques z,,(t) ayant une série de Fourier lacunaire. Enfin, à la Partie IV on combine les résul- b) On suppose de plus à présent que z*,(t) = 0. Montrer que : tats des parties 1 et III pour montrer que la fonction x n’est dérivable en aucun point de IO.XI ? ,,TL,(t)bX‘\rL,(t) 2 = 1 et que cos(l“t) = 0. t :i On note IN~: = IN \ {o} et ZZ+ = zz \ ( 0} et on désigne par C?, l’espace des fonc- Zl,L ,(t) tions de IR dans Q’ qui sont continues et ZT[- périodiques. I.B.2) Montrer que Si f’ t C, on rappelle que ses coefficients de Fourier sont donnés pour n E ZZ par vn>o, VtE IO.xl > y,I+,(t)-n,)+, (t) = -3Cos~(2’2t)(y,l(t)-X,l(t)). mi’z’dt , la série de Fourier (formelle) de f’ étant 1 ~o, VtE ]O.jrl > x,,+,(t)-x,,(t) = (-1) Partie Z - Définition de la fonction x 2” sin’( t) 1.A - On suppose l’espace IK’ muni de sa structure euclidienne canonique. On I.B.4) On pose pour n 20 u, ...

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• Publié par: aiolos
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