CCSE 2002 mathematiques 2 classe prepa tsi

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Concours Centrale - Supélec 2002 Filière TSI Épreuve : MATHÉMATIQUES II I 1.B - Montrer que la famille B. = (E,, E,, E,, E4) est une base orthonormée de Dans tout le problème, M, désigne le R-espace vectoriel des matrices carrées M, pour ce produit scalaire. 2 x 2 à coefficients réels dont lé’lément nul est noté 0, et S, le sous-espace vecto- riel de M, formé des matrices symétriques. En déduire une base orthonormée de S, . Si A et B sont deux éléments de M,, le produit de A par B est noté AB, la 1.C - Étude de la forme « déterminant » sur M, matrice transposée de A est notée tA. : on définit ainsi À toute matrice M de M, , on associe son déterminant det(M) D’autre part, on note Y l’application de lR4 dans M, qui à (a, b, c, d) E lR4 fait une application notée det de M, dans JR. correspondre la matrice I.C.1) On pose 4 v(a,b,c,d) = a b . M= 1 xiEi EM, . cd i 1 i=l On rappelle aussi que Y est linéaire et bijective. Exprimer det(M) en fonction de (x1, x2, x3, x4). I.C.2) Montrer que det oY est une forme quadratique sur IR4, dont on pré- Partie I - cisera la matrice dans la base b = (e ,, e2, e3, e4) , avec : Pour tout élément A de M, , s’écrivant A = a b , on définit la trace de A par : $0, 1, -1,O) . el = (LO,O,O), e2 = (0,0,0,1),e3 = -j$o, 1, l,o), e4 = cd i 1 tr(A) = a+d LA - Dans cette question, on définit une structure euclidienne sur M, . Partie II - À toute matrice M de M, , on associe sa trace tr(M) : on définit ainsi l’applica- 2 tion trace ...

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• Publié par: aiolos
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