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CCSE 2004 mathematiques 1 classe prepa pc

7 pages
MATHÉMATIQUES I Filière PCMATHÉMATIQUES InDans tout le problème, aa=() désigne une suite de complexes et a zn ∑ nn∈ INla série entière associée, dont le rayon de convergence R est supposé non nulaet fini.nOn note C l’ensemble des complexes z de module R tels que a za a ∑ nest convergente.On appelle cercle unité l’ensemble des complexes de module 1 : un complexe zappartient au cercle unité si et seulement s’il existe un réel x appartenant àixl’intervalle I = ]–]ππ, tel que z = e .D’autre part on note : 2πZ Z ={}2kπ k∈ Z Z , et [[ pq, ]] désigne l’ensemble desentiers naturels k vérifiant : pkq≤≤ .On étudie différentes séries entières pour lesquelles l’ensemble C prend diffé-arentes formes. Dans le cas où C est un cercle, on propose d’observer différents comportementsade la fonction somme de la série entière sur ce cercle.Partie I - Calculs préliminairesLes résultats de cette partie sont destinés à préparer les démonstrations desparties suivantes.I.A - Montrer les inégalités :2∀x∈[,0 π], 0≤≤sinx x et ∀x∈[,0 π Ú 2], sinx≥ x .---πI.B - Montrer que pour tout x qui appartient à IR \2πZ Z et pour tout coupled’entiers naturels ()pq, tel que pq≤ : qikx 1e ≤ .∑ ----------------xkp= sin ---2I.C - Soient ()u et ()v deux suites complexes.n * n *n∈ IN n∈ INConcours Centrale-Supélec 2004 1/7 MATHÉMATIQUES I Filière PCFilière PCOn note ()V la suite des sommes partielles de la série v :*n ∑ nn∈ INn≥ 1n*pour tout n∈ IN , V = v ...
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MATHƒMATIQUES IFiliËre PC MATHƒMATIQUES I
n Dans tout le problËme,a=(a)dÈsigne une suite de complexes eta z n nINn la sÈrie entiËre associÈe, dont le rayon de convergenceRest supposÈ non nul a et Þni. n On noteCdes complexes lÕensemblezmodule deR telsquea z a an est convergente. On appelle cercle unitÈ lÕensemble des complexes de module 1 : un complexez appartient au cercle unitÈ si et seulement sÕil existe un rÈelx appartenant ix lÕintervalleI= ]Ðπ,π]tel quez=e. DÕautre part on note:2πZZ={2kπkZZ}, et[[p,q]]lÕensemble des dÈsigne entiers naturelskvÈriÞant :pkq. On Ètudie diffÈrentes sÈries entiËres pour lesquelles lÕensembleCprend diffÈ-a rentes formes. Dans le cas o˘Cest un cercle, on propose dÕobserver diffÈrents comportements a de la fonction somme de la sÈrie entiËre sur ce cercle.
Partie I - Calculs prÈliminaires Les rÈsultats de cette partie sont destinÈs ‡ prÈparer les dÈmonstrations des parties suivantes. I.A -Montrer les inÈgalitÈs : 2 x[0,π],0sinxxetx[0,πÚ2],sinx-x. π I.B -Montrer que pour toutx quiappartient ‡IR\2πZZ etpour tout couple dÕentiers naturels(p,q)tel quepq: q ikx 1 e. -x k=p  sin-  2 I.C -Soient(u)et(v)deux suites complexes. n*n* nINnIN
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