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CCSE mathematiques 1 2008 mp classe prepa mp

4 pages
Concours Centrale - Supélec 2008Épreuve :MATHÉMATIQUES I FilièreMPDans tout ce probleme C designe l’espace vectoriel des fonctions continues, On pourra utiliser, sans demonstration, le resultat suivant :22-periodiques de R dans R muni du produit scalaire deni par :« Soit, pour chaque entier naturel non nul n, (x ) une suite de n nombresk,n 16k6nZ reels. On suppose :21(f|g) = f(x)g(x)dx1. pour tout entier k> 1, la suite (x ) est convergente et on note :k,n n>k0lim x =x ;1k,n kn→∞dont la norme associee est notee || || . Le choix du facteur dans la de nition du212. il existe une suite ( ) de nombres reels positifs telle que la serie de termek k>1produit scalaire (contrairement a habituellement) s’impose par la necessite degeneral converge et :2krendre les fonctions c : x 7→ cos(kx) et s : x 7→ sin(kx) unitaires pour k ∈ N .k kLes coe cients de Fourier trigonometriques d’une fonction f de C sont, comme∀k> 1,∀n>k,|x |6 .2k,n kd’habitude, a (f) = (f|c ) et b (f) = (f|s ) pour n ∈ N et a (f) = (f|1) ou 1n n n n 0n ∞est la fonction constante x7→ 1. X XAlors la serie de terme generalx converge absolument et : lim x = x ».k k,n kLa formule de Parseval pour f ∈C prend la forme :n→∞2k=1 k=1∞2 En n on dit qu’une famille orthonormale ( e ) de vecteurs de E est totale dansXk k>1a (f)2 02 2||f|| = + a (f) +b (f)n n E si 0 est le seul vecteur de E orthogonal a tous les e .2 k2n=1L’objectif du ...
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ConcoursCentrale Supélec2008 :MATHÉMATIQUES I Épreuve
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