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SESSION 2003 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heuresLes calculatricessont autorisées.NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les trois exercices sont indépendants. Dans toutes les questions, il sera tenu le plus grand compte de la rigueur de la rédaction; toute réponse insuffisamment justifiée sera considérée comme nulle. n 1 ExerciceI –Un développement asymptotiquHn.e de= k=1k 1.Un équivalent deHnn 1  Soitnun entier naturel non nul, on poseH=. n k=1k k+1 1 11 a.Sikest un entier non nul, montrer que :dt.k k+1t k 1 b.En déduire l’encadrement suivant :lnn Hnlnn+1. + ≤ n c.Donner un équivalent deHnen. 2.Suites adjacentes  Soitdeux suites de réels(v) et (w) adjacentesc’estàdire que : n n  (v() est croissante,w) est décroissante etlim (vw)=0 . n nn n n→+∞ a.Montrer qu’il existe un entier naturelntel que, pour tout entiernn,vw+1 . 0 0n n  Endéduire que la suite(vmajorée.) est n b.Montrer de même que la suite(wminorée.) est n c.En déduire que les suites(vn) et (wn) sontconvergentes et convergent vers une même limite réelle. Tournez la page S.V.P.