CND 2003 mathematiques commune

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SESSION 2003 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les trois exercices sont indépendants. Dans toutes les questions, il sera tenu le plus grand compte de la rigueur de la rédaction ; toute réponse insuffisamment justifiée sera considérée comme nulle. n 1Exercice I – Un développement asymptotique de H = . n ∑ kk=1 1. Un équivalent de H n n 1 Soit n un entier naturel non nul, on pose H = . n ∑ kk=1k+ 11 1 1a. Si k est un entier non nul, montrer que : ≤ dt ≤ . ∫kk + 1 t k1b. En déduire l’encadrement suivant : ln n+ ≤ H ≤ ln n+ 1. nnc. Donner un équivalent de H en + ∞ . n 2. Suites adjacentes Soit deux suites de réels (v ) et (w ) adjacentes c’est-à-dire que : n n )(v est croissante, (w ) est décroissante et lim (v − w ) = 0 . n n n nn→+∞a. Montrer qu’il existe un entier naturel n tel que, pour tout entier n≥ n, 1v ≤ w + . 0 0 n n En déduire que la suite (v ) est majorée. nb. Montrer de même que la suite (w ) est minorée. nc. En ...

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SESSION 2003 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heures Les calculatricessont autorisées. NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les trois exercices sont indépendants. Dans toutes les questions, il sera tenu le plus grand compte de la rigueur de la rédaction; toute réponse insuffisamment justifiée sera considérée comme nulle. n 1 ExerciceI – Un développement asymptotiquH n ∑ .e de= k=1 k 1. Un équivalent deH n n 1  Soitnun entier naturel non nul, on poseH=. ∑ n k=1 k k+1 1 11 a. Sikest un entier non nul, montrer que :≤dt≤ . ∫ k k+1t k 1 b. En déduire l’encadrement suivant :lnn H n lnn+1 . + ≤ n c. Donner un équivalent deH n en ∞ . 2. Suites adjacentes  Soitdeux suites de réels(v) et (w) adjacentesc’estàdire que : n n  (v() est croissante,w) est décroissante et lim (v−w)=0 . n nn n n→+∞ a. Montrer qu’il existe un entier naturelntel que, pour tout entiern≥n,v≤w+1 . 0 0n n  Endéduire que la suite(vmajorée.) est n b. Montrer de même que la suite(wminorée.) est n c. En déduire que les suites(v n ) et (w n ) sontconvergentes et convergent vers une même limite réelle. Tournez la page S.V.P.