CND 2003 mathematiques specifique

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SESSION 2003 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique MATHEMATIQUES PARTIE II Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. npNombres et polynômes de Bernoulli, applications au calcul de ζ(2k) et k . ∑k=1 Notations +∞ 1On pose pour tout réel x > 1, ζ(x) = . ∑ xnn=1![]X est la ! -algèbre des polynômes à coefficients réels. ![]X est le ! -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à nn. Objectifs Le but du problème est de calculer les valeurs de ζ(2k) où k est un entier non nul (paragraphe II) npainsi que les sommes k où p et n sont des entiers naturels non nuls (paragraphe III). ∑k=1Pour cela, on utilisera les polynômes et nombres de Bernoulli étudiés dans le paragraphe I. Les formules à établir au paragraphe I peuvent être utilisées sans démonstration aux paragraphes II et III. Les paragraphes II et III sont indépendants. Tournez la page S.V.P. 2 I – Polynômes et nombres de Bernoulli On dit qu’une suite (B ) de ![]X est une suite de polynômes de ...

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SESSION 2003 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique MATHEMATIQUES PARTIE II Durée : 2 heures Les calculatricessont autorisées. NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. n p Nombres et polynômes de Bernoulli, applications au calcul de (2 ) et ∑ k . k=1 Notations +∞ 1 ∑ x On pose pour tout réel x>1 ,ζ(x)=. n=1 n ! [ X ] est la ! algèbre des polynômes à coefficients réels. ! n [ X ] est le!espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n. Objectifs Le but du problème est de calculer les valeurs de(2k) oùkest un entier non nul (paragraphe II) n p ainsi que les sommeskoùpetnsont des entiers naturels non nuls (paragraphe III). ∑ k=1 Pour cela, on utilisera les polynômes et nombres de Bernoulli étudiés dans le paragraphe I. Les formules à établir au paragraphe I peuvent être utilisées sans démonstration aux paragraphes II et III. Les paragraphes II et III sont indépendants. Tournez la page S.V.P.