CND 2004 mathematiques commune

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SESSION 2004 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les deux exercices sont indépendants. Exercice I – Etude de séries dont le terme général est le reste d’une série convergente. Soit n un entier naturel fixé. Soit a une série convergente. On définit pour n entier naturel 0 ∑ nnn≥ 0+∞supérieur ou égal à n , r son reste de rang n : ra= . 0 n nk∑kn=+ 1Le but de l’exercice est d’étudier la convergence de la série r dans trois exemples différents. ∑ nnn≥ 0 Exemple 1 11. On pose pour na≥=0, . n n2Calculer r puis montrer que r converge et calculer sa somme. ∑n nn ≥0 Exemple 2 12. On pose pour na≥=1, . n 2n Nous allons chercher un équivalent de r . ( )n Soit k un entier supérieur ou égal à 1. Tournez la page S.V.P. 2111a. Montrer que ∀∈tk,1k+, ≤ ≤. [] 2 22tkk +1()b. En déduire que pour tout entier naturel non nul n et pour tout entier N supérieur à 2 et à N+1NN1d t 1n +1, on a : ≤≤ . ∑ ∑2 ∫22tkkn=+11k +1 kn=+() n +1c. n, on a ...

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SESSION 2004

CONCOURS NATIONAL DEUG _______________  Epreuve commune concours Physique et concours Chimie   MATHEMATIQUES  PARTIE I   Durée : 2 heures

 Les calculatrices sontautorisées.  NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre.     Les deux exercices sontindépendants.   Exercice I  Etude de séries dont le terme général est le reste dune série convergente.  ∑

Soitn 0  un entier naturel fixé. Soit a n une série convergente. On définit pourn entier naturel n≥n 0 +∞ supérieur ou égal àn 0 ,r n son reste de rangn:r n = ∑ a k . k=n+1

Le but de lexercice est détudier la convergence de la série ∑ r n dans trois exemples différents. n≥n 0  Exemple 1 1.On pose pourn≥0,a n = 1 2 n . Calculerr n puis montrer que ∑ r n converge et calculer sa somme. n≥0   Exemple 2 2.  1  1,On pose pour n≥a n = 2 . n  Nous allons chercher un équivalent de ( r n ) .  Soitkun entier supérieur ou égal à 1.

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