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CND 2005 mathematiques specifique

4 pages
` SESSION 2005 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique MATHEMATIQUES PARTIE II Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Ce sujet est constitué d’un problème et d’un exercice indépendants. Problème : Utilisation des séries de Grégory pour l’approximation de π Le problème propose l’étude de deux approximations de π . Toutes deux utilisent des séries de Grégory définies dans la partie I. Les parties II, III, IV peuvent être traitées de manière indépendante. I. séries de Grégory n+∞n aPour tout réel a de 0;1 , on définit la série de Grégory de paramètre a par : G=− 1 . ] ] ()∑a 21n +n =0 1. Convergence de la série G aa. Montrer que la série G est convergente. Est-elle absolument convergente ? 1 Justifier votre réponse. b. Montrer que pour a ∈ 0;1 , la série G est absolument convergente. ] [ a n+∞ anOn notera, dans la suite, Ga() la somme de la série G , c’est-à-dire Ga()=− 1 . ()a ∑ 21n +n =02. Soit a ∈ 0;1 . ] ]naa. Etudier les variations de la suite u définie pour n ∈ par u = . ( )n n 21n +Tournez la page S.V.P ...
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Tournez la page S.V.P.
Les calculatrices sont
autorisées
.
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à
prendre.
Ce sujet est constitué d’un problème et d’un exercice
indépendants.
Problème : Utilisation des séries de Grégory pour l’approximation de
π
Le problème propose l’étude de deux approximations de
π
. Toutes deux utilisent des séries de
Grégory définies dans la partie I.
Les parties II, III, IV peuvent être traitées de manière indépendante.
I. séries de Grégory
Pour tout réel
a
de
]
]
0;1
, on définit la série de Grégory de paramètre
a
par :
(
)
0
1
2
1
n
n
a
n
a
G
n
+∞
=
=
+
.
1.
Convergence de la série
a
G
a.
Montrer que la série
1
G
est convergente. Est-elle absolument convergente ?
Justifier votre réponse.
b.
Montrer que pour
]
[
0;1
a
, la série
a
G
est absolument convergente.
On notera, dans la suite,
(
)
G
a
la somme de la série
a
G
, c’est-à-dire
(
)
0
(
)
1
2
1
n
n
n
a
G
a
n
+∞
=
=
+
.
2.
Soit
]
]
0;1
a
.
a.
Etudier les variations de la suite
(
)
n
u
définie pour
n
`
par
2
1
n
n
a
u
n
=
+
.
SESSION 2005
CONCOURS NATIONAL DEUG
_______________
Epreuve spécifique concours Physique
MATHEMATIQUES
PARTIE II
Durée : 2 heures
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