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SESSION 2006 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heures Les calculatrices sontautorisées.NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.* * * Les trois exercices sontindépendants. Exercice 1Etude d’une suite récurrente 1On noteI l’intervalleSoit0; .(u) lasuite définie pour tout entier naturel non nuln par  n 631 u=u2uetu=. n+1n n1 10 3 On notef la fonction définie surIpar(x)=x2x. 1.Etude de la convergencea.Déterminer les variations defsurIpuis comparer(I)etI. b.Déterminer la monotonie de la suiteu). n c.Montrer que la suite(u)est convergente et déterminer sa limite. n 2.Théorème de CesàroSoit(v)une suite définie pour tout entier naturel non nuln, qui converge vers un réell. n 1 On définit alors la suite( ) pourtout entier naturel non nuln, par=(v+v+...+v). nn1 2n n est la moyenne arithmétique desnpremiers termes de la suite(v). n n a.Traduire à l’aide de quantificateurs le fait que la suite(v)converge versl. n
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