Composition d'analyse et probabilités 2007 Agrégation de mathématiques Agrégation (Externe)

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• 2007

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 31 mars 2008
• Nombre de lectures: 45
• Langue: Français

Extrait

Notationsetd´efinitions R •SoientBlaCrn´eetboesde-a`elgedbrfoesitcncsnoitnoseunRdansCetB´eerbr`eleelala-glossu des fonctions deBllse.uleasvra´`ree R PourfdansB(resp.fdansBsup), on notef= sup{f(x), x∈R}(resp.kfk ∞ = sup|f|). On rappelle que (B,k k ∞ ecapsenutse).´ermno iλt PourλdansR, soite λ dtnee´el’eml´B´dinfie:rap∀t∈R, e λ (t) = e. On notePle sous-espace deBe(rape´edrennge λ ) λ∈ R (espace desa`on´miroguqseteirpolmestynˆo fre´quencesre´elles´endntmo.O)erarneI.A que (e λ ) λ∈ R est une famille libre deB, donc une base de PrmpeciCe.urrmesenoninur´dfieteedPen posant, pour toute famille presque nulle (c λ ) λ∈ R de complexes :  ! X X N c λ e λ =|c λ |. λ∈ R λ∈ R On a :∀p∈P,kpk ∞ 6N(p). •Soit Λ une partie non vide deR. On noteP Λ le sous-espace dePnerdegnr(´epae λ ) λ∈Λ . On dit que Λ est unensemble de Sidonsi et seulement siNetk k ∞ tnelseqe´saviuidesnormenduisent surP Λ bmelnees:euleietssil’ment´ce´rpe´s,etnede’ieludenitalegn´mpco-tte,e,i.   N(p) , p∈P Λ \ {0} kpk ∞ estmajore´.Sitelestlecas,onpose:   N(p) K(Λ) = sup, p∈P Λ \ {0} kpk ∞ R R On noteP Λ ´eeracsp-eussoleleP Λ ∩BdeP Λ . OnditqueΛestsyme´triquesietseulementsi:∀x∈Λ,−x∈Λ. On dit que Λ est unonr´eelbledeSidesnmementsiΛseietseuleiruqeesttsys´mteele’istxiC >0 tel que : R ∀p∈P, N(p)6Csup(p). Λ Si tel est le cas, on a en particulier : R ∀p∈P\ {0},sup(p)>0, Λ et on pose :   N(p) 0 R K(Λ) = sup, p∈P\ {0}. Λ sup(p)

•SoientIun ensemble non vide et (a i ) i∈I uenlldeafimbresenomls.Or´ee(euqtidna i ) i∈I estQ-libre si et seulement si, pour toute famille presque nulle (λ i ) i∈I de rationnels, on a : X λ i a i = 0⇒ ∀i∈I, λ i = 0. i∈I

Si (a i ) i∈I n’est pasQ-libre, on dit que (a i ) i∈I estQ-eei´l. SiAest une partie deR, on dit queAestQ-libre si et seulement si la famille (a) a∈A estQ-libre. •Enfin, siEest une partie deRetγl,onr´eenunoteγEl’ensemble :{γx, x∈E}.

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Objectifsduproble`me,de´pendancedesparties Lebutessentielduproble`meestdeconstruiredessolutionsremarquablesdel’´equationdesondes 3 surlasph`ereeuclidiennedeRrtieravYseeMey.raLappsetrevuoce´d,I´etablitqueeuqle´rstlussta pre´alablesconcernantles´ele´mentsdePetleynˆospoliertpageLedsemaL.erdneIIs´aeocnrtcees aux ensembles de Sidon. La partieIIIqulsneontiraird’aL.seuqitardadieunens´etuitucilremelbpera partieIVdestliseutiabibpsorqieucenhtsilopseboruinetesrdlypoomnˆtresginomoe´rtqieuasyantdes normes quadratique et uniforme assez proches. La partieVrtiuocsnfonctleseseds´.estiiro´n La partieIIuqmeudinpene´detdenI.A. La partieIII´rselesilitueidelapartesultatsII. La partie IV´rpse´ceapseeitrdaenedntinstepd´eseL.edtniteparaViselutilesulesr´aledstateitrapI.B,ainsi que ceux des questionsIII.B.3 etIV.C.2.

I.Pr´eliminaires ´ A.Ele´mentsdeP X 1. (a)Soient (c λ ) λ∈ R une famille presque nulle de complexes,λ 0 uleterne´p=c λ e λ . λ∈ R Z T 1 D´emontrerquep(t)e −λ 0 (t) dtgeversunconverpa´rcesilemiti`euqsrolreeT→+∞. T 0 (b)D´emontrerque(e λ ) λ∈ R est une famille libre duC-espace vectorielB. 2.OnsupposeΛsym´etrique. R . (a) SoitpdansP Λ .V´erifierqueRepet Impsont dansP Λ (b)OnsupposequeΛestunensembledeSidonr´eel.De´montrerqueΛestunensemblede Sidon.

B.PolynoˆmesdeLegendre 2n(n) Sin∈N,U n olynˆomesignelep´(edX−1) ,P n elopylomnˆe(U n )´e(d´vireenme`iede-U n ) etL n le P n polynˆome∙ n 2n! 1. SoientndansNetxdans [−1,1]. +∗ (a) SoientrdansRetγfin´earip:aleldtec iθ ∀θ∈[−π, π], γ(θ) =x+re. V´erifierlarelation: Z 2n n! (z−1) P n (xd) =z. n+1 2iπ(z−x) γ (b)D´eduiredea): Z π  p n 1 2 L n (x) =x1+ i−xsinθdθ. 2π −π p 2 Indication.Pourxdans ]−1,1[, on pourra appliquer a) avecr= 1−x. n o 2. Sin∈N, calculerL n (1),L n (−1) et sup|L n (x)|, x∈[−1,1] . 3. Soientηdans ]0,1[ etI η = [−(1−η),1−η]. (a)Ve´rifier: Z π   1 n/2 2 ∀n∈N,∀x∈I η ,|L n (x)|61−ηcosθdθ. 2π −π (b)D´emontrerque(L n ) n>0 0surversmcentveoneurgfoni´ermI η .

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C.Ope´rateursdiff´erentiels 2 SoitVl’espace vectoriel complexe des applications de classeCde [−1,1] dansC. PourfdansV, soitD(f) l’application de [−1,1] dansC:rapeinfie´d 200 0 ∀x∈[−1,1], D(f)(x) = (1−x)f(x)−2xf(x). Siλest dansC, soitV λ le sous-espace deV´d:rapinfieV λ ={f∈V, D(f) =λf}. n o Enfin, soit :Σ =λ∈C, V λ 6={0}. 1. SoitndansN. 20 (a)V´erifierlarelation:(X−1)U n = 2nX U n . (b)Ende´duirel’´egalit´e:D(L n ) =−n(n+ 1)L n . 2. SoientfetgdansVmont.D´ee´:lati´’geerlr Z Z 1 1 D(f)(t)g(t) dt=f(t)D(g)(t) dt. −1−1 3.De´montrerque:Σ={−n(n+ 1), n∈N}. 4. SoitndansND´emontrerque.V −n(n+1) =CL n . Indication.nodsulitxuosededkienronsrlewcule:elleitnereff´diontiuaeq’´elnpOrroualac 200 0 (E) (1−x)y(x)−2x y(x) +n(n+ 1)y(x) = 0. 5.Lorsqu’oncherchelessolutionsdel’e´quationdesondessurlasphe`reeuclidiennetridimensionnelle 2 3 SdeReacspiuq´dennepetnededqune’uorconndoe´,enosectnoudti`ad´eterminerl’eEdes 2 applicationsude classeCdeR×[−1,1] dansCtelles que : 2 2 ∂ u∂ u∂u 2 ∀(t, x)∈R×[−1,1],(t, x) = (1−x) (t, x)−2x(t, x). 2 2 ∂t ∂x∂x

De´montrerqueles´ele´mentsdeEde la forme : (t, x)7→a(t)b(xu`o)a(resp.b) est une application 2 de classeCdeR(resp. [−1,1]) dansC, sont les :  √ √  in(n+1)t−in(n+1)t (t, x)7→L n (x)αe +βe

∗2 2 avecn∈Net (α, β)∈C(, et les :t, x)7→λt+µavec (λ, µ)∈C.

II. Construction d’ensembles de Sidon

On noteC`gla-suoederbeaslB2ctedeenofstsno´utiinntseueioctconsπoiiduqsede-´preRdansC. A.Th´eore`med’approximationdeKroneckeretapplication ∗n SoientndansN, (ω j ) 16j6n ufanellmieredlee´,sωnt(lle´’eme´ω 1 , . . . , ω n ) deR,G ω le sous-groupe n n deRngerpa´edrenRωet 2πZre:a-di`-tse’c n n G ω =Rω+ 2πZ={sω+ 2πv,(s, v)∈R×Z}. 1. Onsuppose (ω j ) 16j6n Qli´e-.e n (a)De´montrerqu’ilexisteuneformelin´eairenonidentiquementnulle`surRtelle que `(G ω )⊂Z. n (b) Lesous-groupeG ω est-il dense dansR?

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