Composition de mathématiques générales 2001 Agrégation de mathématiques Agrégation (Externe)

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Concours de la Fonction Publique Agrégation (Externe). Sujet de Composition de mathématiques générales 2001. Retrouvez le corrigé Composition de mathématiques générales 2001 sur Bankexam.fr.

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• 2001

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 31 mars 2008
• Nombre de lectures: 46
• Langue: Français

Extrait

Agr´egationdeMathe´matiques2001ConcoursExterne

Mathe´matiquesGe´n´erales

Prol´egome`nes

n Danstoutleprobl`emenmeneptsoletsirtcitif,si´edtnenuengrutanreiRlee´tesbmonrsercorpsdesleR n l’espace vectoriel euclidien canonique de dimensionn.R’uidstnectrueurtnemelage´tseuntmenemquninoca d’espaceaffine.Onchoisitpourorigine,note´eO, le vecteur nul de l’espace vectoriel. n On notex, yle produit scalaire de deux vecteursxetydeRetxla norme euclidienne dex. On note GL n (Ronsienimdedsee´rracsecirpedesmat)legrouninversibles et on note det(Anantermid´et)le n delamatricecarr´eeA. SiEest une partie deRetAune matrice dans GL n (R), on noteA(E) l’image de n Epar l’endomorphisme deRanciqonemeusatnicosa`e´A. n n SiEest une partie deR, on appelle figure polaire deEn,e´eotE, la partie deRe´deseopintsofmrytels quex, yeirea`rutse´fnitou1pourtxdansE:  n E={y∈R| ∀x∈E,x, y ≤1}. n On rappelle qu’une partie deRest convexe si, pour tout couple (A, B) de ses points, elle contient le segment n [A, B]. Unefonctionfd’une partieEdeRansdurleva`asRest dite convexe siEest convexe et si 2 ∀(x, y)∈E ,∀λ∈[0,1], f(λx+ ( 1−λ)y)≤λf(x) + ( 1−λ)f(y) (i.e. legraphe est sous ses cordes).On dit quef´ealitn´egil’isestrtciexnvieesmetecontxevnsteeeellocts pre´ce´denten’estune´egalite´quesix=youλ∈ {0,1}. Enfinfest dite (strictement) concave si−fest (strictement) convexe. n Une partieEdeRest diteO-etrisym´iellquesbolgtseeitnemelantiaarnvsylaarepenffia)trene(aletm´ecri de centreO. Siλest un scalaire, on noteλEl’image deEertnecedeieth´otom’hrlpaOet de rapportλ. n On dit qu’une partieEdeRsellieonecxeved’etcnutsprovnocsexee.Onremarquerani´treeiruonvndi qu’un corps convexeOtr´eym-sntcoueiqotjueitnuosrOint´ssonur(caerrsiiednaxerieint´esttsedelenrui, mˆemede−xrietm´syarp(edissuateex+ (−x))/onvexit´2parc)e. n Enfin siEest une partie Lebesgue-mesurable deRon note vol(E) son volume. Lesdeuxi`emeettroisie`mepartiessontind´ependantesl’unedel’autre.Ilestrappel´equelapre´sentation,la re´dactionetlapr´ecisionsontdese´le´mentsimportantsd’appr´eciationdescopies. PartieIGe´n´eralit´es n SoitKun corps convexe et compact deRcontenantOr.inossnadueire´tn Question 1 n SoientK 0 etK 1 des parties convexes deRetθ´rnudlee[sna0,1]; montrer queK θ ´esteocvnxeoeu`nonato n K θ = ( 1−θ)K 0 +θK 1 ={x∈R| ∃(x 0 , x 1 )∈K 0 ×K 1 , x= ( 1−θ)x 0 +θx 1 }. Question 2  t−1 SoitAune matrice dans GL n (R). Montrer(A(K)) =A(K). Question 3 n SoitxdansR, on poseI x ={λ∈R + |x∈λK}. 3.aMontrer queI x estunindeajnm´eormrefone´vretellaR + . 3.bOn peut donc poserj K (x) = infI x ’est;ctoiS.fitisoplee´rnu∂Keeried`ntroaflK. Montrer x∈K⇐⇒j K (x)≤1 etx∈∂K⇐⇒j K (x) = 1.

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Question 4(tedu´expmdee’les)  4.aExpliciterK,j K etj K dans les trois cas suivants :  2 1.Ktledisquden)esuelcdieiuein´t(eR. 2 2.Kesectl´rraeK={(x 1 , x 2 )∈R| −1≤x 1 , x 1 ≤1}. 2 3.Knsdae,mmraog´lleralautpnseR, de centreO.  4.bMontrer queKest un corps convexe, compact, contenantOsonint´erieuretadsn n ∀y∈R, j K (y) = max{x, y |x∈K}.  n 4.cOn suppose queKestOetrisym´Montque.rqr-euej K etj K sont des normes.Que dire de (R, j K ) et  n (R, j K ) ?  Question 5(e´tiluaedtdtaulesr´Un) On notep K la projection sur le convexe compactK. 5.aSoitanraeta’pppas`nantaKetHl’hyperplan passant parp K (aan`lladaortipesasantpar)egohortto aetp K (armelafo).tnoMqrerli’usixeunteeqe´tiuadeon n H={x∈R| x, u= 1} n pour un certain vecteurudeR, telle quea, u>1 et, pour tout pointxdeK,x, u ≤1.   5.bMontrer (K) =K. Question 6(Projection d’un convexe) n Soitpr H une projection (affine) deRd’image un hyperplan affineHet de direction quelconqueD(une droiteaffine)nonparall`ele`aH´nnon(ere`pernu’edffineaacsp’etlnietlan)lohogtortemensaireces.Onmu queHsnuqe´oitaplerd’antloiyp’hx n = 0 etDoind’´equatladroitex 1 =. . .=x n−1 = 0. K Montre qu’il existeϕ K etϕdes applications depr H (K) dansRrespectivement convexe et concave telles queKsoit l’ensemble desx= (x 1 , x, . . . n ) tels que (x 1 , . . ., x n−1 aptreitna`)appr H (K) et K ϕ K (x 1 , . . . , x n−1 )≤x n ≤ϕ(x 1 , x, . . . n−1 ).

PartieIIG´eome´triedesformesquadratiques

Onappelleellipsoide(sous-entenducentr´eenOtiqued´emequadrarunuferonutie´opab)lleouevitisopeinfi n surRriqum´etcesyatrinumennreesodemedˆeumtaenvireIl.´eediefinsipovetiAdtenoce´disrerele n sous-ensembleE(A) deRdesxtels quex, Ax ≤note1. OnEEn identifiantl’ensemble des ellipsoides. n(n+1)/2 l’ellipsoideE(A) aux coefficientsa i,j deAaveci≤jere`disnocno,Ecomme une partie deRet on le munit de la topologie induite. Question 1(esunboulsit´eidsoetesEipll) SoitAu’ilexisteunematirecys´mteiruqdefin´epoietisiveenamusemyrtciueiqtr´eepniefid´.evitisoqrertnoM 2−1 telle queB=AoitanpaencilpdnE.gema’itlesdeoipsillenu’uqeriude´parunne)idieeucl´t(eueinobluedal lin´eaire. Question 2(nvexit´ediseteocEllpios) −1/2 Montrer que l’applicationA→(detA l’ensemble des matrices) den×nsevisduefin´espieitossrtqimye´  dansRetstso(g.anrOiotphrmuea.r)osgnrerai`cotcesmnednitec´eonrlvrelxee + Question 3(Ellipsoide maximal) n SoitKun corps convexe compactOym´e-suedetriqR. n 3.aSoitvctristelostpeneme´rnuee’snmelbtrerquelitif.MonE K,v des ellipsoides deRayant un volume sup´erieur`avet inclus dansKest une partie compacte deE. n 3.bli’uqeriude´dnEsixenuetqinuleeupslideoiE K deRinclus dansKet de volume maximal pour cette proprie´te´. Question 4(Formes quadratiques et corps convexes) n 4.aSoitKun corps convexe compactOys-te´mriquedeRnote Is. On K le groupe des automorphismes n lin´eairesudeRtels queu(K) =Kqu’il existe une forme quadratique. Montreq K iepo´efinvedsiti invariante par Is K , i.e. n ∀u∈Is K ,∀x∈R, q K (u(x)) =q K (x).

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