Composition de mathématiques générales 2007 Agrégation de mathématiques Agrégation (Externe)

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Concours de la Fonction Publique Agrégation (Externe). Sujet de Composition de mathématiques générales 2007. Retrouvez le corrigé Composition de mathématiques générales 2007 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 31 mars 2008
• Nombre de lectures: 41
• Langue: Français

Extrait

Lesquatrepremi`erespartiesduprobl`emesontlargementinde´pendantes. Partie I DanscettepartieI,one´tudieunem´ethodedecalculdel’inversed’un´ele´mentad’un groupe ∗ multiplicatif G de cardinal finiN∈NeGtseredentuemtn’´.L´eelenot´1. ´ «Ecrire un algorithme»mrofparealepnutnn¸raiscaou,snesuprogrammengisnfregedi´eerelifi d’un langage tel que Pascal, Maple, Matlab, etc. Lecouˆtd’unalgorithmeestlenombredemultiplicationsdanslegroupeGitssonesenquce´e exe´cution.Onnetiendrapascomptedesautresope´rations(enparticuliercellesdansN). N−1 1. Justifierle fait queaest inverse deadansG. 2.One´critlade´compositionenbase2deN−1 sous la forme : k X i N−1 =x i 2 aveck∈N,x i ∈ {0,1}pouri∈[0, k]etx k 6= 0. i=0 Onconside`relessuitesfinies(a i ) 06i6k+1 et (b i ) 06i6k+1 ´dr:paesniefi x i 2 ],a= ,b 0 =aet pouri∈[0, k i+1 a i b i b a 0 = 1,b i+1 = i . a)D´emontrerquea k+1 est l’inverse deadansG. −1 b)Ende´duireunalgorithmedecalculdeaeptsire´rcenf,ectonndioekocnotuˆ,s danslepiredescas(c’est-`a-direlenombremaximumdemultiplicationsdansGque −1 n´ecessitelecalculdeandraetie;onndlseucldcualve´euentcudetuˆocsaptpmo x i , 06i6k). L’algorithme doit prendre comme argumentsaetN. 3.Exemple.Dans cette question,Gsinvmentel´edes´edlbsereisrgelepuotseZ/148Z. On note encoreala classe dansZ/148Z’dnue´´lmenetadeZ. a)D´eterminerlecardinalNdeG. b)De´montrerque5estune´le´mentdeGetermtd´esoniinerapesrevnhte´malreedod la question I.2. c)Donneruneautreme´thodepourd´eterminercetinverse. Partie II e 1. a)Soitπitlumepuorgnu’dteneml´´eunatifplicG,eun entier relatif etα=π. 2k k Onconside`rel’applicationfdeZ×GdansGrde´nfieiapf(k, τ) = (τ απ ,). α α 2 Exhiber une fonctionϕdeGdansGe,peneen´duqdeadtnev´erettifian e τ=ϕ◦f(k, τ) pour tout (k, τ)∈Z×G. e α b) Onsuppose le groupeGetneme´le´’ltπconnus de tous les membres d’une association. e L’un d’eux,A, garde secret l’entiereteerlbcidnupl´eml’´eentα=π, ainsi donc que la fonctionfdnucvne’reyoa`heecnr.Ocrehnupeor´cderuepermettant`achaAun α messagecrypte´souslaformed’un(oudeplusieurs)e´l´ement(s)τdeG, telle que la seule connaissance deetial.ssageinirevuemelra`eorteffissu Justifierlefaitque,sil’auteurde´composesonmessageenpartiestellesquechacune puisseˆetrerepre´sent´eeparun´el´ementτdu groupe, choisit pour chacune d’elles un i entierket envoie les couplesf(k ,τ) = (µλ ,a)`A, alors ce dernier peut les i αi ii i d´ecryptergraˆcea`ϕ. e 2

∗ 2. Dans cette question,Gest le groupeFsevnisedps`aucorlesdrsibteelnest´lme92e´ 29 nombresπ= 2 etαlbci.s1=on8suptss´popues Chaqueassoci´esaitquelesentiers(1,2,...,26,27,28)modulo29,danscetordre, repr´esententles´el´ementsdu28-uplet(A,B, .. .,Z, ‘’,∙tnarape´secapesl’regu’fiu‘o`), deux mots et∙est le point de fin de phrase. a)Sachantquel’algorithmedede´cryptageemploye´parArepose sur la seule table ci-dessousdesre´sidusmodulo29despuissancesdix-septi`emesdesentiersentre2et 28 :

λ 2 34 59 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 286 7 8 17 λ 20 23 278 285 1626 14 25 197 1722 11 183 1221 2 6 9 13 24 10 4 15 conjecturer la valeur deeetlacontaˆeca`ˆrlorergα.  b)De´crypterlemessagesuivant(ondonnelasuitedescouples(λ i , µ i ) : (16, 17), (18, 24), (28, 22), (17, 21), (23, 23), (24, 8). Partie III Dans cette partie III, le corps de base est le corps finiFa`16e´me´ltsenni,ue`qusoaiihmsompre 16 pre`s. 1. a)Comment peut-on construireF 16 ? ∗ b)D´emontrerquelegroupemultiplicatifFceanucssspdessuinu’dssecsevitsofmre´e 16 4 3 e´l´ementωantlerifiv´e´lati´’geω+ω+ 1 = 0. 2 48 43 c)De´montrerqueω,ω,ωetωnˆlyeomoesltncarsseniopudX+X+ 1dansF. 16 2 4 8 d)D´emontrerquelafamille(ω, ω, ω, ω) est une base deFsurF. 16 2 5 2. a)Soita∈FredasoudR.e´nsFuale’q´ontix=aeve´eutnucsitnatelonnd,ellements 16 16 la valeur dea. b)D´emontrerqu’ilexistequatree´le´mentsγ∈Ftels que, pour chacun d’eux, la famille 16 2 4 8 (, γ, γγ, γ) est une base deFsurF´slee´emtnsletpeleuqeldeitdurosedeuxde 16 2 appartient`alabaseoueste´gal`a1. Expliquer rapidement pourquoi les calculs dansFsont plus faciles dans une telle 16 base. Partie IV 2 Unecubiquesur un corpsKest l’ensemble Γ des pointsM= (x, y)∈Kenmaolˆunpynlutonna 3 22 3 22 dutroisi`emedegr´eP(X, Y) =a X+b XY+c XY+d Y+e X+f XY+g Y+h X+i Y+j a`coefficientsdansK. Dans toute la suite,Ppos´enonnul.sestpu 2 Remarquesemoˆnylopsrueisluepstxile:ielbdesnmesue-mesoemˆeantldonnK, comme le 2 2 montrel’exempledespolynoˆmesXYetX Yttnanqeiueduueqmsttnosyss´utem-e.Ilesel’on ∗ a fait un choix particulier deP(sederospdeouunl’lee´el´spsraudtisdementK). Cettepartiee´tudiequelquescubiquesparticuli`eressurlecorpsR. 3 1.Danscettequestion,onprendlacubiqueΓde´finieparlepolynˆomeP=X−Y∈R[X, Y]. a)Latracera`mainleve´e. 3