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Composition de mathématiques générales 2007 Agrégation de mathématiques Agrégation (Externe)

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Concours de la Fonction Publique Agrégation (Externe). Sujet de Composition de mathématiques générales 2007. Retrouvez le corrigé Composition de mathématiques générales 2007 sur Bankexam.fr.
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Lesquatrepremi`erespartiesduprobl`emesontlargementinde´pendantes. Partie I DanscettepartieI,one´tudieunem´ethodedecalculdelinversedun´ele´mentad’un groupe multiplicatif G de cardinal finiNNeGtseredentuemtn´.L´eelenot´1. ´ «Ecrire un algorithme»mrofparealepnutnn¸raiscaou,snesuprogrammengisnfregedi´eerelid’un langage tel que Pascal, Maple, Matlab, etc. LecouˆtdunalgorithmeestlenombredemultiplicationsdanslegroupeGitssonesenquce´e exe´cution.Onnetiendrapascomptedesautresope´rations(enparticuliercellesdansN). N1 1. Justifierle fait queaest inverse deadansG. 2.One´critlade´compositionenbase2deN1 sous la forme : k X i N1 =xi2 aveckN,xi∈ {0,1}pouri[0, k]etxk6= 0. i=0 Onconside`relessuitesnies(ai)06i6k+1et (bi)06i6k+1´dr:paesniexi2 ],a= ,b 0=aet pouri[0, ki+1aibib a0= 1,bi+1=i. a)D´emontrerqueak+1est l’inverse deadansG. 1 b)Ende´duireunalgorithmedecalculdeaeptsire´rcenf,ectonndioekocnotuˆ,s danslepiredescas(cest-`a-direlenombremaximumdemultiplicationsdansGque 1 n´ecessitelecalculdeandraetie;onndlseucldcualve´euentcudetuˆocsaptpmo xi, 06i6k). L’algorithme doit prendre comme argumentsaetN. 3.Exemple.Dans cette question,Gsinvmentel´edes´edlbsereisrgelepuotseZ/148Z. On note encoreala classe dansZ/148Zdnue´´lmenetadeZ. a)D´eterminerlecardinalNdeG. b)De´montrerque5estune´le´mentdeGetermtd´esoniinerapesrevnhte´malreedod la question I.2. c)Donneruneautreme´thodepourd´eterminercetinverse. Partie II e 1. a)Soitπitlumepuorgnudteneml´´eunatifplicG,eun entier relatif etα=π. 2k k Onconside`relapplicationfdeZ×GdansGrde´neiapf(k, τ) = (τ απ ,). α α 2 Exhiber une fonctionϕdeGdansGe,peneen´duqdeadtnev´erettian e τ=ϕf(k, τ) pour tout (k, τ)Z×G. e α b) Onsuppose le groupeGetneme´le´ltπconnus de tous les membres d’une association. e L’un d’eux,A, garde secret l’entiereteerlbcidnupl´eml´eentα=π, ainsi donc que la fonctionfdnucvnereyoa`heecnr.Ocrehnupeor´cderuepermettant`achaAun α messagecrypte´souslaformedun(oudeplusieurs)e´l´ement(s)τdeG, telle que la seule connaissance deetial.ssageinirevuemelra`eortessu Justierlefaitque,silauteurde´composesonmessageenpartiestellesquechacune puisseˆetrerepre´sent´eeparun´el´ementτdu groupe, choisit pour chacune d’elles un i entierket envoie les couplesf(k ,τ) = (µλ ,a)`A, alors ce dernier peut les i αi ii i d´ecryptergraˆcea`ϕ. e 2
2. Dans cette question,Gest le groupeFsevnisedps`aucorlesdrsibteelnest´lme92e´ 29 nombresπ= 2 etαlbci.s1=on8suptss´popues Chaqueassoci´esaitquelesentiers(1,2,...,26,27,28)modulo29,danscetordre, repr´esententles´el´ementsdu28-uplet(A,B, .. .,Z, ‘’,tnarape´secapeslreguuo`), deux mots etest le point de fin de phrase. a)Sachantquelalgorithmedede´cryptageemploye´parArepose sur la seule table ci-dessousdesre´sidusmodulo29despuissancesdix-septi`emesdesentiersentre2et 28 :
λ2 34 59 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 286 7 8 17 λ20 23 278 285 1626 14 25 197 1722 11 183 1221 2 6 9 13 24 10 4 15 conjecturer la valeur deeetlacontaˆeca`ˆrlorergα. b)De´crypterlemessagesuivant(ondonnelasuitedescouples(λi, µi) : (16, 17), (18, 24), (28, 22), (17, 21), (23, 23), (24, 8). Partie III Dans cette partie III, le corps de base est le corps finiFa`16e´me´ltsenni,ue`qusoaiihmsompre 16 pre`s. 1. a)Comment peut-on construireF16? b)D´emontrerquelegroupemultiplicatifFceanucssspdessuinudssecsevitsofmre´e 16 4 3 e´l´ementωantleriv´e´lati´geω+ω+ 1 = 0. 2 48 43 c)De´montrerqueω,ω,ωetωnˆlyeomoesltncarsseniopudX+X+ 1dansF. 16 2 4 8 d)D´emontrerquelafamille(ω, ω, ω, ω) est une base deFsurF. 16 2 5 2. a)SoitaFredasoudR.e´nsFualeq´ontix=aeve´eutnucsitnatelonnd,ellements 16 16 la valeur dea. b)D´emontrerquilexistequatree´le´mentsγFtels que, pour chacun d’eux, la famille 16 2 4 8 (, γ, γγ, γ) est une base deFsurF´slee´emtnsletpeleuqeldeitdurosedeuxde 16 2 appartient`alabaseoueste´gal`a1. Expliquer rapidement pourquoi les calculs dansFsont plus faciles dans une telle 16 base. Partie IV 2 Unecubiquesur un corpsKest l’ensemble Γ des pointsM= (x, y)Kenmaolˆunpynlutonna 3 22 3 22 dutroisi`emedegr´eP(X, Y) =a X+b XY+c XY+d Y+e X+f XY+g Y+h X+i Y+j a`coecientsdansK. Dans toute la suite,Ppos´enonnul.sestpu 2 Remarquesemoˆnylopsrueisluepstxile:ielbdesnmesue-mesoemˆeantldonnK, comme le 2 2 montrelexempledespolynoˆmesXYetX Yttnanqeiueduueqmsttnosyss´utem-e.Ileselon a fait un choix particulier deP(sederospdeouunllee´el´spsraudtisdementK). Cettepartiee´tudiequelquescubiquesparticuli`eressurlecorpsR. 3 1.Danscettequestion,onprendlacubiqueΓde´nieparlepolynˆomeP=XYR[X, Y]. a)Latracera`mainleve´e. 3