Composition de physique - option physique 2009 Agrégation de sciences physiques Agrégation (Externe)

Description

Concours de la Fonction Publique Agrégation (Externe). Sujet de Composition de physique - option physique 2009. Retrouvez le corrigé Composition de physique - option physique 2009 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2009

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 29 octobre 2009
• Nombre de lectures: 58
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

Mod`elesphysiquesdequelques instruments de musique et acoustiques

Ceprobl`emes’int´eressea`quelquesaspectsdelaphysiquedesinstrumentsdemusique. Lapremi`erepartie´etudieunmode`lesimpled’instrument`acorde,danslequelseulela physique de la corde vibrante intervient (les effets du couplage entre la corde et l’instrument nesontpas´evoques). ´ Ladeuxi`emepartieproposeunee´tudesimplifi´eedecertainsinstruments`apercussion,a` partirdesmodesdevibrationsd’unemembrane(l`aencore,leseffetsducouplagedelamembrane avec le corps de l’instrument ne sont pas pris en compte). Latroisie`mepartieabordel’´etudedesinstrumentsa`vent,mod´elis´espardesimplestuyaux sonores. Enfin,laquatri`emeparties’inte´resse`alarestitutiond’unsonparunhaut-parleur,et`a l’ondesonorerayonn´eeparlamembranedecelui-ci. Lesquatrepartiessontinde´pendantes. Ladescriptiond’uneexpe´riencedoitcomporterunsche´maexplicatifetleprotocoleexp´eri- mental. Danstoutleprobl`eme,on( e −→ x  e −→ y  e −→ z )labasedescoordonne´escarte´siennes.Lesgran-note deurscomplexessontsouligne´es.

Premi`erepartie Cordevibrante-Instruments`acordes Lescordesdesinstrumentsdemusiquesontdesobjetscylindriqueshomog`enes,tendusentre deuxpointsse´pare´sparunelongueur L . Le rayon du cylindre est a avec a  L . Oncommencepar´etudierlemode`ledelacordesansraideur,quifaitl’objetdesquestions A. a` D. .Onne´gligel’effetdelapesanteurdanslesquestions A. a` C. et dans la question E. .Ceteffeteste´tudie´danslaquestion D. . Enfin, la raideur de la corde est prise en compte dans la question E. . A ´ Equationdeprranlement . opagationdel’e´b Lacordedemasselin´eique µ est tendue avec la tension T 0 . Au repos la corde est rectiligne etparall`ele`al’axehorizontal( Ox ). On´etudielesmouvementsdelacordeautourdesapositiond’´equilibre.Onnote y ( x t ) le d´eplacement(oue´branlement)dupointdelacorde`al’abscisse x `al’instant t . L’axe Oy est l’axe vertical ascendant. Onfaitleshypoth`esessuivantes: (1)Lesd´eplacementssontpetits,demeˆmequel’anglequefaitlacordeavecl’axe Ox , ce qui entraıˆne: ∂ ∂ x y  1.   (2) La tension de la corde en mouvement est : T ( x t ) = T 0 + T 1 ( x t ) avec | T 1 ( x t ) |  T 0 et | T 1 ( T xt ) | infinimentpetitdumˆemeordreoud’unordresupe´rieur` ∂y 0 a ∂x  .  (3) On ne gardera que les termes du premier ordre en y ( x t )etensesd´erive´es.

1

(4)Onn´egligeleseffetsdelapesanteur. 1. a) Onconside`rel’e´l´ntdecordedelongueurd ` situ´eentrelesplansd’abscisses x et eme x + d x . Montrer que : d ` ' d x au premier d ∂y . or re en  ∂x  b) Appliquerlethe´ore`medelaresultantecin´etique`acet´el´ementdecordeetleprojeter ´ sur e −→ y .End´eduirequel’´ebranlement y ( x t )ve´rifiel’e´quationauxde´riv´eespartielles: ∂ 2 y 2 y 2 = c 2 ∂ ∂ x 2 (1) ∂t o`u c estunegrandeur`aexprimerenfonctionde T 0 et µ . 2. a) Ve´rifierl’homoge´n´eit´edel’expressionobtenuepour c . b) Donnersansde´monstrationlaformege´ne´raledessolutionsdel’´equation(1). c) Calculer c pour : • unecordedeguitare:masselin´eique µ = 3 g.m − 1 , tension T 0 = 103 N ; • une corde de piano : masse volumique ρ = 7800 kg.m − 3 , tension T 0 = 850 N, diam`etre φ = 1  2 mm. Commenter les valeurs obtenues. B. Cordefixe´ea`sesdeuxextr´emit´es,modespropres Lacordeestfixe´ea`sesdeuxextr´emit´es, x = 0 et x = L , ce qui impose les conditions aux limites : y (0  t ) = y ( L t ) 0. = 1.Modespropres,fre´quencespropres a) Qu’appelle-t-on onde stationnaire ? b) Montrerquelessolutionsenondesstationnaires,physiquementacceptables,del’´equation (1) sont de la forme : y ( x t ) = y 0 cos( ωt + ϕ ) cos( kx + ψ ) Quelle est la relation entre ω et k ? c) D´efinirles modes propres et les fr´equencespropres de la corde. d) Montrerquelesfr´equencespropresdelacordesont: c f n = n 2 L e) De´finirles ventres et les nœuds de vibration. Quelle est la distance entre deux ventres conse´cutifs?entredeuxnœudscons´ecutifs?entreunventreetunnœudconse´cutifs? f ) Dessinerl’aspectdelacordea`diff´erentsinstantsbienchoisispour n = 1, n = 2 et n = 3. g) Proposeruneexpe´riencepermettantdemesurerlesfrequencespropresd’unecorde. ´ h) Onconside`relescordesdontonadonn´elescaract´eristiques`alaquestion A. 2c. Lacordedeguitarepermetdejouerunenotedefre´quencefondamentale(laplusbassedes fr´equencespropresdelacorde)147Hz(pourlesmusiciens,cettenoteestunre´ 2 ). Quelle est sa longueur?Quelleestlalongueurdelacordedepianojouantlameˆmenote?

2

2.Solutiong´en´erale Onadmetquelasolutiong´en´eraledel’e´quation(1)correspondantauxconditionsauxlimites y (0  t ) = y ( L t )=0estunesuperpositiondesmodespropres.Onl’´ecritsouslaforme: ( x t ) = n = X ∞ 1  a n cos  nπ L ct  + b n sin  nπ L ct  sin  nπ L x  (2) y Lesconditionsinitialessontconstitu´eesparladonne´ede: • la forme de la corde : y ( x 0) = α ( x ), • sa vitesse : ∂y ∂t ( x 0) = β ( x ), o`u α ( x ) et β ( x )sontdesfonctionsde´finiessur[0  L ]. a) Montrer que les coefficients a n et b n sed´eduisentsimplementdelade´compositionen ˜ se´riedeFourierdesfonctions˜ α ( x ) et β ( x )d´efiniessur R toutentier,impaires,p´eriodiquesde pe´riode2 L et q i co¨ ident avec α ( x ) et β ( x ) sur l’intervalle [0  L ]. u ınc b) On donne la fonction α ( x ) : α ( x ) h 0 L 5 L x Illustrer graphiquement la construction de la fonction α ˜( x ). 3. Corde pincee ´ Une corde de longueur L estpince´epuislaˆche´esansvitesse`al’instant t = 0 (corde de guitare ou de clavecin par exemple). a) Que valent les coefficients b n ?Commentpeut-ond´eterminerlescoefficients a n ( la de´terminationdecescoefficientsn’estpasdemande´eici ) ? b) Ondonnelesspectrescalcule´spourunecordei´e`alamoitie´desalongueurpuisau p nce cinquie`medecelle-ci,o`u c n = a 2 n + b 2 n : c n c n 0.8 0 6  0.6 . 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 1 3 5 7 9 11 13 15 n 2 4 6 8  10  12 14 n Cordepince´een L 2 Cordepinc´eeen L 5 Commentpeut-onexpliquer,danslecadredelamod´elisationpr´ece´dente,l’absencedecer- tains harmoniques ? OnpourracalculerlescoefficientsdeFourierdelafonctionde´rive´ede˜ α ( x ) pour obtenir simplement ceux de la fonction ˜ α ( x ). On rappelle que si f ( t )estunefonctiona`valeursre´elles oucomplexes,pe´riodiquedepe´riode T , les coefficients de Fourier de f ( t )sontdonne´sparles relations : 3