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Composition de physique - option physique 2009 Agrégation de sciences physiques Agrégation (Externe)

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Concours de la Fonction Publique Agrégation (Externe). Sujet de Composition de physique - option physique 2009. Retrouvez le corrigé Composition de physique - option physique 2009 sur Bankexam.fr.
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Mod`elesphysiquesdequelques instruments de musique et acoustiques
Ceprobl`emesint´eressea`quelquesaspectsdelaphysiquedesinstrumentsdemusique. Lapremi`erepartie´etudieunmode`lesimpledinstrument`acorde,danslequelseulela physique de la corde vibrante intervient (les effets du couplage entre la corde et l’instrument nesontpas´evoques). ´ Ladeuxi`emepartieproposeunee´tudesimpli´eedecertainsinstruments`apercussion,a` partirdesmodesdevibrationsdunemembrane(l`aencore,leseetsducouplagedelamembrane avec le corps de l’instrument ne sont pas pris en compte). Latroisie`mepartieabordel´etudedesinstrumentsa`vent,mod´elis´espardesimplestuyaux sonores. Enn,laquatri`emepartiesinte´resse`alarestitutiondunsonparunhaut-parleur,et`a londesonorerayonn´eeparlamembranedecelui-ci. Lesquatrepartiessontinde´pendantes. Ladescriptionduneexpe´riencedoitcomporterunsche´maexplicatifetleprotocoleexp´eri-mental. Danstoutleprobl`eme,on( e −→ x  e −→ y  e −→ z )labasedescoordonne´escarte´siennes.Lesgran-note deurscomplexessontsouligne´es.
Premi`erepartie Cordevibrante-Instruments`acordes Lescordesdesinstrumentsdemusiquesontdesobjetscylindriqueshomog`enes,tendusentre deuxpointsse´pare´sparunelongueur L . Le rayon du cylindre est a avec a L . Oncommencepar´etudierlemode`ledelacordesansraideur,quifaitlobjetdesquestions A. a` D. .Onne´gligeleetdelapesanteurdanslesquestions A. a` C. et dans la question E. .Ceteeteste´tudie´danslaquestion D. . Enfin, la raideur de la corde est prise en compte dans la question E. . A ´Equationdeprranlement . opagationdele´b Lacordedemasselin´eique µ est tendue avec la tension T 0 . Au repos la corde est rectiligne etparall`ele`alaxehorizontal( Ox ). On´etudielesmouvementsdelacordeautourdesapositiond´equilibre.Onnote y ( x t ) le d´eplacement(oue´branlement)dupointdelacorde`alabscisse x `alinstant t . L’axe Oy est l’axe vertical ascendant. Onfaitleshypoth`esessuivantes: (1)Lesd´eplacementssontpetits,demeˆmequelanglequefaitlacordeaveclaxe Ox , ce qui entraıˆne: xy 1.   (2) La tension de la corde en mouvement est : T ( x t ) = T 0 + T 1 ( x t ) avec | T 1 ( x t ) |  T 0 et | T 1 ( Txt ) | innimentpetitdumˆemeordreoudunordresupe´rieur` ∂y 0 a ∂x . (3) On ne gardera que les termes du premier ordre en y ( x t )etensesd´erive´es.
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(4)Onn´egligeleseetsdelapesanteur. 1. a) Onconside`rele´l´ntdecordedelongueurd ` situ´eentrelesplansdabscisses x et eme x + d x . Montrer que : d ` ' d x au premier d ∂y . or re en ∂x b) Appliquerlethe´ore`medelaresultantecin´etique`acet´el´ementdecordeetleprojeter ´ sur e −→ y .End´eduirequel´ebranlement y ( x t )ve´riele´quationauxde´riv´eespartielles: 2 y 2 y 2 = c 2 x 2 (1) ∂t o`u c estunegrandeur`aexprimerenfonctionde T 0 et µ . 2. a) Ve´rierlhomoge´n´eit´edelexpressionobtenuepour c . b) Donnersansde´monstrationlaformege´ne´raledessolutionsdel´equation(1). c) Calculer c pour : unecordedeguitare:masselin´eique µ = 3 g.m 1 , tension T 0 = 103 N ; une corde de piano : masse volumique ρ = 7800 kg.m 3 , tension T 0 = 850 N, diam`etre φ = 1 2 mm. Commenter les valeurs obtenues. B. Cordexe´ea`sesdeuxextr´emit´es,modespropres Lacordeestxe´ea`sesdeuxextr´emit´es, x = 0 et x = L , ce qui impose les conditions aux limites : y (0  t ) = y ( L t ) 0. = 1.Modespropres,fre´quencespropres a) Qu’appelle-t-on onde stationnaire ? b) Montrerquelessolutionsenondesstationnaires,physiquementacceptables,del´equation (1) sont de la forme : y ( x t ) = y 0 cos( ωt + ϕ ) cos( kx + ψ ) Quelle est la relation entre ω et k ? c) D´enirles modes propres et les fr´equencespropres de la corde. d) Montrerquelesfr´equencespropresdelacordesont: c f n = n 2 L e) De´nirles ventres et les nœuds de vibration. Quelle est la distance entre deux ventres conse´cutifs?entredeuxnœudscons´ecutifs?entreunventreetunnœudconse´cutifs? f ) Dessinerlaspectdelacordea`di´erentsinstantsbienchoisispour n = 1, n = 2 et n = 3. g) Proposeruneexpe´riencepermettantdemesurerlesfrequencespropresdunecorde. ´ h) Onconside`relescordesdontonadonn´elescaract´eristiques`alaquestion A. 2c. Lacordedeguitarepermetdejouerunenotedefre´quencefondamentale(laplusbassedes fr´equencespropresdelacorde)147Hz(pourlesmusiciens,cettenoteestunre´ 2 ). Quelle est sa longueur?Quelleestlalongueurdelacordedepianojouantlameˆmenote?
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2.Solutiong´en´erale Onadmetquelasolutiong´en´eraledele´quation(1)correspondantauxconditionsauxlimites y (0  t ) = y ( L t )=0estunesuperpositiondesmodespropres.Onl´ecritsouslaforme: ( x t ) = n = X 1 a n cos nπLct + b n sin nπLct  sin nπLx (2) y Lesconditionsinitialessontconstitu´eesparladonne´ede: la forme de la corde : y ( x 0) = α ( x ), sa vitesse : ∂y ∂t ( x 0) = β ( x ), o`u α ( x ) et β ( x )sontdesfonctionsde´niessur[0  L ]. a) Montrer que les coefficients a n et b n sed´eduisentsimplementdelade´compositionen ˜ se´riedeFourierdesfonctions˜ α ( x ) et β ( x )d´eniessur R toutentier,impaires,p´eriodiquesde pe´riode2 L et q i co¨ ident avec α ( x ) et β ( x ) sur l’intervalle [0  L ]. u ınc b) On donne la fonction α ( x ) : α ( x ) h 0 L 5 Lx Illustrer graphiquement la construction de la fonction α ˜( x ). 3. Corde pincee ´ Une corde de longueur L estpince´epuislaˆche´esansvitesse`alinstant t = 0 (corde de guitare ou de clavecin par exemple). a) Que valent les coefficients b n ?Commentpeut-ond´eterminerlescoecients a n ( la de´terminationdecescoecientsnestpasdemande´eici ) ? b) Ondonnelesspectrescalcule´spourunecordei´e`alamoitie´desalongueurpuisau p nce cinquie`medecelle-ci,o`u c n = a 2 n + b 2 n : c n c n 0.8 0 6 0.6 . 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 1 3 5 7 9 11 13 15 n 2 4 6 8 10 12 14 n Cordepince´een L 2Cordepinc´eeen L 5 Commentpeut-onexpliquer,danslecadredelamod´elisationpr´ece´dente,labsencedecer-tains harmoniques ? OnpourracalculerlescoecientsdeFourierdelafonctionde´rive´ede˜ α ( x ) pour obtenir simplement ceux de la fonction ˜ α ( x ). On rappelle que si f ( t )estunefonctiona`valeursre´elles oucomplexes,pe´riodiquedepe´riode T , les coefficients de Fourier de f ( t )sontdonne´sparles relations : 3
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