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Corrigé Bac ES, L 2017 - Maths

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Voici le corrigé du sujet de maths pour les Bac ES et Bac L 2017.
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BaccalauréatES et L
Session 2017
Épreuve :Mathématiques
Durée de l’épreuve : 3 heures
Coefficient : 5 (ES obligatoire) 4 (L spécialité)
PROPOSITION DE CORRIGÉ
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1
Exercice 1 (6 points) 1) a. La probabilité qu’un client attende au moins 5 min est : P (T15) = 7/120,583b. Le temps d’attente moyen est E(T1) = (0+12) / 2 =6 min.2. La probabilité que le temps d’attente soit compris entre 0,75 et 6 min est : P (0,75T26)0,745(avec NormalFrép ou NormCd suivant la calculatrice utilisée) 3. a) X suit une loi binomiale. Les paramètres sont p = 0,1 et n = 10. b) La probabilité qu’aucune caisse automatique ne tombe en panne est : 10 10 P ( X = 0 ) = (1 – 0,1) = 0,90,349.4. L’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% est en appliquant la formule du cours avec p = 0,9 (90% ) et n = 860 : I0,921].[0,879 ; La fréquence observée f = 763/8600,887 est bien dans l’intervalle, ce qui ne permet pas de rejeter l’affirmation du gérant, bien qu’elle soit inférieure aux 90% annoncés. Exercice 2 (5 points) Partie A
1) U1= 0,75 * 900 + 12 = 687 et U2= 0,75 * 687 + 12 = 527,25 ce qui correspond à 527 er adhérents au 1 mars 2017. 2) a. Vn + 1= Un + 1- 48 = 0,75 Un+ 12 – 48 = 0,75 Un- 36 = 0,75 ( Un- 48 ) = 0,75 Vn La suite (Vn) est donc géométrique de raison 0,75. b. On a V0= U0– 48 = 852. er c. Avec la formule pourune suite géométrique de raison 0,751 terme 852 on a : et de n nn  Vn= V0On en déduit que U* 0,75 = 852 *0,75 n = Vn + 48+ 48= 852 *0,75 n n 3) On résout ici 852 *0,75 + 48 < 100 soit 0,75 < (100 – 48) / 852 = 52 / 852 = 13 /213
d’où n ln 0,75 < ln(13 /213) et n > ln(13 /213) / ln 0,759 ,7. C’est donc à partir de n =10, c’est-à-direau bout de 10 mois que la présidente devra démissionner. X On aurait pu aussi le voir dans TABLE en entrant Y1 = 852 *0,75 + 48 pour observer que c’est bien au rang 10 que les termes passent en dessous de 100 (avec U1096). 2 Propriété exclusivedeStudyrama.Toutereproductionoudiffusioninterditesans autorisation.
Partie B
1. Complétons l’algorithme :
Variables S: un nombre réel N: un nombre entier naturel U: un nombre réel Initialisation S prend la valeur 0 Uprend la valeur 900 Traitement PourNallant de 1 à 12 Affecter à S la valeurS + U*10 Affecter à U la valeur0,75U + 12 Fin pour Sortie AfficherS
b) En éditant le programme à la calculatrice, on trouve pour montant total annuel des cotisation pour l’an 2017 :38 760 euros.(à 1 euro près)
Exercice 3 (6 points)
3x 1. f ‘ est du signe de – 3x + 2 car e > 0
On a le tableau de variations suivant:  x 0 2/3 1 Signe de + 0 -– 3x + 2f ‘(x) 2 / 3 f (x) e  ↗ ↘ 1 0
3x 3x 3x 2. On calcule f ‘’ (x) = - 3 e + 3 (- 3x + 2) e = (- 9x + 3) e Alors f ‘‘ est du signe de – 9x + 3 :
 x Signe de – 9x + 3f ‘‘(x)
0 1/3 1  + 0 -
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3
1 Ainsif admet un point d’inflexion en x = 1 / 3 où f (1/ 3) = ( 2 / 3 ) e.
Doncce point a pour coordonnées (1 / 3 ; 2e / 3).
Partie B
1. f ( 1 ) = 0 et g (1) = 0 ; donc A(1 ; 0) appartient bien aux deux courbes.
De même, f ( 0 ) = 1 et g (0) = 1, donc B(0 ; 1) appartient bien aux deux courbes.
3x 3x 0 2. a) e – 10 équivaut à e1 = e soit 3x0 i.e. x0, c’est donc bien le cas sur l’intervalle [0 ;1].
3x 3x b) Comme x0, alors e – 1 + xe – 10.
3x c) Sur [0 ;1], on a 1 – xe – 1 + x0 et 0 d’après b).
Donc par produit on a f (x) – g (x)0 pour tout x dans [0 ;1].
3 3. a) g(x)dxG (0) où G(x) = x = G (1) - / 3 – x ² + x est une primitive de g.
 = 1/ 3 – 1 +1 = 1/3
  3 b) L’aire cherchée est− g(x)) dx (f(x)  = f(x) dx - g(x) dx = (e – 4 ) / 9 – 1 /3   3  = (e – 7 ) / 91,5 u.a.
Exercice 4:
1. P (X = 1 ) = (ln2 – ln 1) / ln 10 = ln 2 / ln 10 0, 3012. a) L’intervalle de fluctuation pour p = ln 2 / ln 10 et n = 36 677 est [0,296 ; 0,306] On constate que la fréquence observée 11 094 / 36 6770,302 appartient à l’intervalle de fluctuation, cette observation estcompatible avec l’affirmation.
b) Ici on aurait P (X = 1 )1 (car c’est quasi-sûr d’avoir un élève dont sa taille en cm commence par un 1, puisqu’il est très rare d’en avoir mesurant plus de 2m ou moins d’1m !)
La loi de Benford n’est donc pas du tout adaptée dans ce cas pour X.
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4
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