Corrige BTS CIRA Mathematiques 2005

Description

SE 2005, corrigé 2)a)Voici le schéma demandé, et deux autres aussi pour voir:EXERCICE 12 21)a) g(t)= 1+cos t sin t donc( ){142 43 v(t)u t( ) 2 2 Schémas réalisés avec Géogébra (www.geogebra.org)g′(t)=(−2costsint)sin t+ 1+cos t 2sintcost( ){ 142 43 ∞1 442 4 43 2)b) Dirichlet: la fonction f est C par morceaux (c’est-à-dire infiniment dérivable sauf en 142 43v(t) v′(t)u′(t) u t( ) quelques points discrets), donc elle satisfait largement aux conditions de Dirichlet. 3 3 • Déjà, la fonction étant paire, les b sont nuls.ng′(t)= −2costsin t+2sintcost+2sintcos t12 2 0.5 0.5 τ1 1 g′(t)=2costsint −sin t+1+cos t 2( ) a = f t dt =2 f t dt =2 −τ dt+2 −τdt• Ensuite ( ) ( )0  ∫ ∫ ∫ ∫−0.5 0 0 τ 1 2à partir de là on peut simplifier de plusieurs manières différentes:1 1   2 2 3g′ t =2costsint cos t+cos t = 4cos tsint a =2τ −τ +2 −τ (−τ) d’où a =0• ( ) ( ) 0     0   2 22 2 2g′ t =2costsint −sin t+1+1−sin t =4costsint 1−sin t …• ( ) ( ) ( ) 0.52 2πn ≥1• Enfin, pour , a = f(t)cos(nωt)dt avec ω = =2πn ∫sans intérêt, cela revient finalement au même −0.51 TMais on pouvait aussi très bien utiliser les formules de duplication: 0.512 2 a =4 f(t)cos(2πnt)dtg′(t)=2costsint cos t −sin t+1 =sin(2t) cos(2t)+1 = sin(4t)+sin(2t) qui est joli mais ne sert à rien( ) ( ) n ∫021τ 1  2a =4 −τ cos 2πnt dt+4 −τ cos 2πnt dt( ) ( ) ( )3 n  ∫ ∫1)b) Dans 0;π le sint est positif, et le cos t est du signe de cost 0 τ[ ]  21π  τ1  2donc g croît de g 0 =0 jusqu’à g =1 puis ...

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Extrait

SE 2005, corrigé

EXERCICE 1

2 2 1)a) g ( t ) = ( 1+cost ) sint donc 1 4 243 v ( t ) u ( t )  2 2 g′ ( t ) = ( −2 costsint ) sint+ ( 1+cost ) 2 sintcost 14 243 1442443 1 4 243 v ( t ) v ′( t ) u ′( t ) u ( t )  3 3 g′ ( t ) =−2 costsint+2 sintcost+2 sintcost 2 2 g′ ( t ) =2 costsint ( −sint+1+cost ) à partir de là on peut simplifier de plusieurs manières différentes: 2 23 • g′ ( t ) =2 costsint ( cost+cost ) =4 costsint 2 22 • g′ ( t ) =2 costsint ( −sint+1+1−sint ) =4 costsint ( 1−sint )  sans intérêt, cela revient finalement au même Mais on pouvait aussi très bien utiliser les formules de duplication: 2 2 1 g′ ( t ) =2 costsintc ) =sin ( 4t ) +sin ( 2 ) qui est joli ( ost−sint+1 ) =sin ( 2t ) ( cos ( 2t ) +1t mais ne sert à rien 2

3 1)b) Dans [ 0;π ] le sintest positif, et le cost est du signe de cost  π  doncgcroît de g ( 0 ) =0 jusquà g=1 puis redécroît jusquà     2 g ( π ) =0 .

2)a)Voici le schéma demandé, et deux autres aussi pour voir:

Schémas réalisés avec Géogébra (www.geogebra.org) ∞ 2)b) Dirichlet: la fonctionfest  par morceaux (cest-à-dire infiniment dérivable sauf en C quelques points discrets), donc elle satisfait largement aux conditions de Dirichlet. • Déjà, la fonction étant paire, les b n sont nuls. 1 1  1  0.5 0.5τ 2 • Ensuite a=f ( t ) dt=2f ( t ) dt=2−τdt+2−τdt ∫ −0.5 ∫ 0 ∫ 0 ∫ τ 0     1 2  1   1  =0 a=2τ−τ+2−τ ( −τ )doù a 0 0       2 2 2 2π 0.5 f tcos • Enfin, pour n≥1 , a n = ( )( nωt ) dt avec ω= =2π ∫ −0.5 1T 0.5 a=4f ( t ) cos ( 2πnt ) dt ∫ 0 n 1 τ  1  2 a=4−τcos ( 2πnt ) dt+4 ( −τ ) cos ( 2πnt ) dt ∫ 0 ∫ τ n     2 1  1  τ 2 a=4−τcos ( 2πnt ) dt−4τcos ( 2πnt ) dt ∫ 0 ∫ τ n     2 1 τ  1   1   1  2 a=4−τsin ( 2πnt ) −4τsin ( 2πnt ) n        2  2πn   2πn  τ 0