Corrige BTS ELECTRO Mathematiques 2000

Description

BTS SE 2000, corrigé, par Elodouwen π⎡ ⎤et là c’est gagné, car dans 0; on connaît l’expression de f(x):⎢ ⎥2⎣ ⎦EXERCICE 1 ππ π 2 222 π ⎡t ⎤ π1) graphe de f: 2 2a = tdt = tdt = =0 ∫ ∫ ⎢ ⎥0 0π 2 2 8⎣ ⎦0–––––––a+T2a = f t cos nωt dt , même raisonnement, on choisit bien a:( ) ( )n ∫aTπ π π2 4 π2 2 2a = f(t)cos(nωt)dt = tcos(nωt)dt =2 tcos(nωt)dtπn ∫ ∫ ∫0 0−π π 22b2) f étant paire, les sont nuls.n il n’y a plus qu’à procéder à l’intégration par parties.2πT =π donc ω = =2πTπ π21 1⎡ ⎤a+T1 2 2a =2 tcos(nωt)dt =2 t sin(nωt) −2 sin(nωt)dtna = f(t)dt , lorsque la fonction est paire il est toujours ∫ ∫⎢ ⎥0 0 0∫ nω nωa ⎣ ⎦0Tattention à ne pas oublier de bien mettre le 2 partoutT TT ⎡ ⎤préférable de prendre a= − , ce qui revient à intégrer sur − ; : π⎢ ⎥2 2 π2 ⎣ ⎦ 22 2 −1⎡ ⎤2a = ⎡tsin(nωt)⎤ − cos(nωt)π n ⎣ ⎦ ⎢ ⎥01 nω nω nω2 ⎣ ⎦0a = f t dt : c’est la somme des deux rectangles grisés( )π0 ∫−π 2 2 ⎛π π ⎞ 2 ⎛ −1 π −1⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞a = sin 2n − cos 2n − car ω =2⎜ ⎟ ⎜ ⎟n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠2n 2 2 2n 2n 2 2nπ 1a = sin nπ + cos nπ −1( ) ( ( ) )n 22n 2n1 na = −1 −1( )( )n 22non dit que c’est deux fois le rectangle sombre, par parité:π22a = f t dt( )0 ∫0π2 2 2 2n π π cos(nπ) π π −1= − soit = − ce qui revient… exactement au même…car cosnπ = −1 ∑ ∑( ) 2 24 8 n 4 8n≥1 (2p+1)P≥0nimpair3.2) D’après ce qui précède, et vu qu’un nombre impair n peut s’écrire n=2p+1 avec p un entier quelconque, 2 cos 2(2p+1)tπ ( )∀x∈R,f(x)=S(x)= −∑ 28 (2p+1)P≥0π π ππ⎡ ⎤ ⎡ ⎤0; ∀x∈ 0; ,S x = ...

Informations

• Publié par: aphrodite
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Extrait

BTS SE 2000, corrigé, pâr Elodouwen

EXERCICE 1 1) grâphe def:

 b nt nuls. 2)fétânt pâire, les n so 2π T=π doncω= =2 T 1 a+T a=f ( t ) dt , lorsque lâ fonction est pâire il est toujours ∫ a 0 T T ⎡ T T ⎤ préférâble de prendre a=− , ce qui revient à intégrer sur −; : ⎢ ⎥ 2 ⎣ 2 2 ⎦ π 1 2 a= π f ( t ) dt : cest lâ somme des deux rectângles grisés ∫ − 0 π 2

on dit que cest deux fois le rectângle sombre, pâr pârité: π 2 2 a=f ( t ) dt ∫ 0 0 π

⎡ π ⎤ et là cest gâgné, câr dâns 0; on connâît lexpression def(x): ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ π π π 2 2 2 2π ⎡ t ⎤ π 2 2 a=tdt=tdt= = ∫ 0 ∫ 0 ⎢ ⎥ 0 π82 2 ⎣ ⎦ 0 ––––––– 2 a+T a= n f ( t ) cos ( nωt ) dt, même râisonnement, on choisit biena: ∫ a T

π ππ 2 4π 2 22 a= π f ( t ) cos ( nωt ) dt=tcos ( nωt ) dt=2tcos ( nωt ) dt ∫ − ∫ 0 ∫ 0 n π π2 2 il ny â plus quà procéder à lintégrâtion pâr pârties.

π π π 2 ⎡ 1 ⎤ 1 2 2 a=2tcos ( nωt ) dt=2tsin ( nωt ) −2 sin ( nωt ) dt ∫ 0 ⎢ ⎥ ∫ 0 n n ⎣ nω ⎦ 0 ω âttention à ne pâs oublier de bien mettre le 2 pârtout π π 2 2⎡ −1 ⎤ 2 2 a= ⎡ tsin ( nωt ) ⎤ −cos ( nωt ) ⎣ ⎦ 0 ⎢ ⎥ n nωnω ⎣ nω ⎦ 0 2 ⎛ π ⎛ π ⎞ ⎞ 2⎛ −1 ⎛ π⎞ −1 ⎞ a=sin 2n−cos 2n−  câr  ω=2 ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ n 2n ⎝ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎠ 2n ⎝ 2n ⎝ 2 ⎠ 2n ⎠ π1 a n =sin ( nπ ) + ( cos ( nπ ) −1 ) 2 2n2n 1 n a= ( −1 ) −1 n 2 ( ) 2n