Corrige BTSOPTI Mathematiques 2006

Description

−1 SE 2006, corrigé 0,04z 0,04z⇔ Z z = ⋅ Z z = ⋅ Z z , il ne reste plus qu’à ( ) ( ) ( )y x x−2 21− z z −12PARTIE 1 factoriser en bas en utilisant z −1= z−1 z +1 .( )( )À propos des notations et du vocabulaire.zLes notations x n et y n désignent des fonctions de N dans R. Dans d’autres chapitres, on ( ) ( ) 2)a) Si x n = e n alors Z z = donc:( ) ( ) ( )xappelle cela des suites. En électronique on appelle cela signal discret. Le mot discret s’oppose z−1€ à continu.Discret = prenant des valeurs ponctuelles (image: les barreaux d’une échelle).€ € € Continu = prenant une plage de valeurs (image: le toboggan)€ échelon unité€ 20,04z 0,04zZ z = ⋅ Z z =( ) ( )y 2 x 2z −1 z +1 z−1( )( )b) On va décomposer cette fraction en éléments simples en utilisant la y ntechnique de l’identification, afin de retrouver l’expression de ( ) à discret continu partir de celle de Z z (transformée en z inverse).( )y€ Le mot signal est un mot de l’électronique; son équivalent strictement mathématique serait 0,04z A B Csimplement fonction (pour un signal continu) ou suite (pour un signal discret). J’écris donc = + + , attention c’est 2 2Un signal causal prend des valeurs nulles avant 0. z−1 z + 1z +1 z−1 z−1( )( ) ( ) € 20,04z0,04z et non pas .€ Technique de la décomposition en éléments simples: αz + ß A A A B B Bn n−1 1 n n−1 1= + +… + + + +… +n p n n−1 n n−1z +1 z−1 z−1 z−1 z−1 z +1 z +1 z +1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )€ Si en bas l’un des facteurs n’est pas décomposable (degré 2 ...

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• Publié par: aphrodite
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• Langue: Français

Extrait



−1 SE 2006, corrigé 0,04z0,04z ⇔zZ z y ( ) =⋅Z x ( z ) =⋅Z x ( ) , il ne reste plus quà −2 2 1−z z−1 2 PARTIE 1 factoriser en bas en utilisant z−1= ( z−1 )( z+1 ) . À propos des notàtions et du vocàbulàire. z Les notations x ( n ) et y ( n ) désignent des fonctions deNdansR. Dans dautres chapitres, on x n=e n Z z= 2)a) Si ( )( ) alors x ( ) donc: appelle cela des suites. En électronique on appelle celasignal discret. Le motdiscretsoppose z−1  àcontinu. Discret  = prena  nt des valeurs ponctuelles (image: les barreaux dune échelle). Continu = prenant une plage de valeurs (image: le toboggan)  échelon unité  2 0,04z0,04z Z=⋅Z z ) = y ( z ) 2 x ( 2 z−1 ( z+1 ) z−1 ( ) b) On va décomposer cette fraction en éléments simples en utilisant la technique de lidentification, afin de retrouver lexpression de y ( n ) à Z z discret continu partir de celle de y ( ) (transformée enzinverse).  Le motsignalest un mot de lélectronique; son équivalent strictement mathématique serait 0,04B Cz A simplementfonction(pour un signal continu) ousuite(pour un signal discret). Jécris donc = ++ , attention cest 2 2 Un sinalcausaldes valeurs nulles avant 0. rend z−1z+1 ( z+1 )( z−1 ) ( z−1 )  2 0,04z et  non pas 0,04z . Technique de la décomposition en éléments simples: αz+ ABA AB B n n−1 1n n−1 1 = ++  ++ ++  + n pn n−1n n−1 z−1z+1 ( z+1 ) ( z−1 ) ( z−1 ) ( z−1 ) ( z+1 ) ( z+1 )  Si en bas lun des facteurs nest pas décomposable (degré 2 avec∆<0) alors on écrit:     n n−1 1  n B n−1 1  αz+B B AA A = ++  ++ ++  + 2 2 n pn n−1n n−1 2 22 22 2  az+bz+c a′z +b′z +c′ az+bz+c a′z +b′z +c′az+bz+c az+bz+c( )a′z+b′z +c′a′z +b′z +c′( )   ( )  ( )( )( )( )( ) signaux causals discretssignaux causals continus Ici 1) On a y ( n ) −y ( n−2 ) =0,04x ( n−1 ) .  2 2 −2−1 A z+1+B z−1+C z−1 0,04z AB C ( ) ( ) ( ) z⋅Z z On transforme enzdoù:Z ( z ) −z⋅Z y ( ) =0,04⋅z x ( ) = ++ = y 2 22 z−1z+1 Dans cette écriture, y ( ) désigne la fonction y appliquée à la variablez. La transformée enz ( z+1 )( z−1 ) ( z−1 ) ( z−1 ) ( z+1 ) Z z Z y ( n ) Z dun signal discret (par exemple du signal discretest donc une fonction continue y de la 2 0,04z ( B+C ) z+ ( A−2C ) z+ ( A−B+C )  variable complexe). =  2 2  On modèle un peu cette équation: ( z+1 )( z−1 ) ( z−1 ) ( z+1 )    −2−1−2−1 z−z0,04⋅z⋅Z z⇔Z z1−z=0,04⋅z⋅Z z Z y ( ) ⋅Z ( z ) = x ( ) y ( ) ( ) x  ( ) on identifie, doù: y

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