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Corrige BTSPRODU Mathematiques 2003

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BTS - groupement B 1 - 2003Correction de l’´epreuve de Math´ematiquesExercice11. D´efaut d’approvisionnement(a) Calcul de P (E )1P (E ) =P (A∩B)1=P (A)×P (B)car A et B sont ind´ependants.= 0,04×0,02= 0,0008(b) Calcul de P (E )2P (E ) =P (A∪B)2=P (A)+P (B)−P (A∩B)= 0,04+0,02−0,0008= 0,05922. Pannes de la machine sur une dur´ee de 100 jours.(a) Calcul de P (X≤ 2)P (X≤ 2) =P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2)= 0,6065+0,3033+0,0758= 0,9856(b) La machine a au plus 4 pannes pendant la p´eriode de 100 jours cons´ecutifsOn demande le calcul de P (X≤ 4)P (X≤ 4) =P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2)+P (X = 3)+P (X = 4)= 0,6065+0,3033+0,0758+0,0126+0,0016= 0,9998(c) Plus petit entier n tel que : p(X≤n)≥ 0,99On a vu que P (X≤ 2) = 0,9856 donc P (X≤ 2)≤ 0,99De plus : P (X≤ 3) =P (X≤ 2)+P (X = 3) = 0,9856+0,0126= 0,9982 donc P (X≤ 3)≥ 0,99Le plus petit entier n tel que : p(X≤n)≥ 0,99 est donc 3.3. Embouteillage: calcul de la probabilit´e qu’une bouteille satisfasse `a la norme.Y −1,5La variable al´eatoire Y suit la loi normaleN (1,5;0,01) donc la variable al´eatoire T = suit la loi nor-0,01male centr´ee r´eduiteN (0;1).La probabilit´e demand´ee est: p =P (1,47≤Y ≤ 1,53)=P (−3≤T≤ 3)= 2π(3)−1= 2×0,99865−1−3= 0,997 a` 10 pr`es.4. Test d’hypoth`ese¯(a) Z suitN(1,5;0,001) σ¯ √On sait que: Z suitN ; avec σ = 0,01 , n = 100 et = 1,5.n¯Donc Z suitN (1,5;0,001) ¯(b) Calcul de h tel que :P 1,5−h≤Z≤ 1,5+h = 0,95¯Z−1,5¯Z suitN (1,5;0,001) donc T = suit la loi ...
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BTS  groupement B 1  2003 Correctiondel´epreuvedeMathe´matiques
Exercice1 1.Dtutd´efavosiparpmeneoinn (a) CalculdeP(E1) P(E1) =P(AB) =P(A)×P(BraeABtosc)endants.ntind´ep = 0,04×0,02 = 0,0008 (b) CalculdeP(E2) P(E2) =P(AB) =P(A) +P(B)P(AB) = 0,04 + 0,020,0008 = 0,0592 2.e´ru1edeoj00.srudmeaelsainnncPhauresedun (a) CalculdeP(X2) P(X2) =P(X= 0) +P(X= 1) +P(X= 2) = 0,6065 + 0,3033 + 0,0758 = 0,9856 (b)Lamachineaauplus4pannespendantlape´riodede100jourscons´ecutifs On demande le calcul deP(X4) P(X4) =P(X= 0) +P(X= 1) +P(X= 2) +P(X= 3) +P(X= 4) = 0,6065 + 0,3033 + 0,0758 + 0,0126 + 0,0016 = 0,9998 (c) Pluspetit entierntel que :p(Xn)0,99 On a vu queP(X2) = 0,9856 doncP(X2)0,99 De plus :P(X3) =P(X2) +P(X= 3) = 0,9856 + 0,0126 = 0,9982 doncP(X3)0,99 Le plus petit entierntel que :p(Xn)0,99 est donc 3. 3.Embouteillage:calculdelaprobabilite´quunebouteillesatisfassea`lanorme. Y1,5 Lavariableale´atoireYsuit la loi normaleN(1,5; 0,´laeotaeeri)d01clonaravbliaT= suitla loi nor 0,01 malecentre´ere´duiteN(0; 1).
Laprobabilit´edemande´eest:p=P(1,47Y1,53) =P(3T3) = 2π(3)1 = 2×0,998651 3 = 0,99a17`.0p`rse 4.Testdhypothe`se ¯ (a)ZsuitN(1,5; 0,001)   σ ¯ On sait que:ZsuitNµ; avecσ= 0,01 ,n= 100 etµ= 1,5. n ¯ DoncZsuitN(1,5; 0,001)   ¯ (b) Calculdehtel que :P1,5hZ1,5 +h= 0,95 ¯ Z1,5 ¯ ZsuitN(1,5; 0,001) doncTet=usaltiniolamroceler´ntr´eeuiedN(0; 1) 0,001     h h ¯ P1,5hZ1,5 +h=PT0,001 0,001   h = 2π1 0,001    h h1 + 095 donc 2π1 = 0,5d9u`oπ= =0,975 0,001 0,001 2 h 3 La lecture inverse du tableau donne := 1,96 soith= 0,`200a10 0,001