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Corrige BTSSE Mathematiques 2000

5 pages
BTS SE 2000, corrigé, par Elodouwen π⎡ ⎤et là c’est gagné, car dans 0; on connaît l’expression de f(x):⎢ ⎥2⎣ ⎦EXERCICE 1 ππ π 2 222 π ⎡t ⎤ π1) graphe de f: 2 2a = tdt = tdt = =0 ∫ ∫ ⎢ ⎥0 0π 2 2 8⎣ ⎦0–––––––a+T2a = f t cos nωt dt , même raisonnement, on choisit bien a:( ) ( )n ∫aTπ π π2 4 π2 2 2a = f(t)cos(nωt)dt = tcos(nωt)dt =2 tcos(nωt)dtπn ∫ ∫ ∫0 0−π π 22b2) f étant paire, les sont nuls.n il n’y a plus qu’à procéder à l’intégration par parties.2πT =π donc ω = =2πTπ π21 1⎡ ⎤a+T1 2 2a =2 tcos(nωt)dt =2 t sin(nωt) −2 sin(nωt)dtna = f(t)dt , lorsque la fonction est paire il est toujours ∫ ∫⎢ ⎥0 0 0∫ nω nωa ⎣ ⎦0Tattention à ne pas oublier de bien mettre le 2 partoutT TT ⎡ ⎤préférable de prendre a= − , ce qui revient à intégrer sur − ; : π⎢ ⎥2 2 π2 ⎣ ⎦ 22 2 −1⎡ ⎤2a = ⎡tsin(nωt)⎤ − cos(nωt)π n ⎣ ⎦ ⎢ ⎥01 nω nω nω2 ⎣ ⎦0a = f t dt : c’est la somme des deux rectangles grisés( )π0 ∫−π 2 2 ⎛π π ⎞ 2 ⎛ −1 π −1⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞a = sin 2n − cos 2n − car ω =2⎜ ⎟ ⎜ ⎟n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠2n 2 2 2n 2n 2 2nπ 1a = sin nπ + cos nπ −1( ) ( ( ) )n 22n 2n1 na = −1 −1( )( )n 22non dit que c’est deux fois le rectangle sombre, par parité:π22a = f t dt( )0 ∫0π2 2 2 2n π π cos(nπ) π π −1= − soit = − ce qui revient… exactement au même…car cosnπ = −1 ∑ ∑( ) 2 24 8 n 4 8n≥1 (2p+1)P≥0nimpair3.2) D’après ce qui précède, et vu qu’un nombre impair n peut s’écrire n=2p+1 avec p un entier quelconque, 2 cos 2(2p+1)tπ ( )∀x∈R,f(x)=S(x)= −∑ 28 (2p+1)P≥0π π ππ⎡ ⎤ ⎡ ⎤0; ∀x∈ 0; ,S x = ...
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BTS SE 2000, corrigé, pâr Elodouwen
EXERCICE 1 1) grâphe def:
bnt nuls. 2)fétânt pâire, lesnso 2π T=πdoncω= =2 T 1 a+T a=f(t)dt, lorsque lâ fonction est pâire il est toujours a 0 T TT Tpréférâble de prendrea=, ce qui revient à intégrer sur;: ⎢ ⎥ 22 2π 1 2 a=πf(t)dt: cest lâ somme des deux rectângles grisés 0 π 2
on dit que cest deux fois le rectângle sombre, pâr pârité: π 2 2 a=f(t)dt 0 0 π
πet là cest gâgné, câr dâns0;on connâît lexpression def(x): ⎢ ⎥ 2π π π2 2 2 2πtπ 2 2 a=tdt=tdt= = 00 ⎢ ⎥ 0 π82 2 ⎣ ⎦0 ––––––– 2 a+T a= nf(t)cos(nωt)dt, même râisonnement, on choisit biena: a T
π ππ 2 4π 2 22 a=πf(t)cos(nωt)dt=tcos(nωt)dt=2tcos(nωt)dt 00 n π π2 2 il ny â plus quà procéder à lintégrâtion pâr pârties.
π π π 2 11 2 2 a=2tcos(nωt)dt=2tsin(nωt)2 sin(nωt)dt 0⎢ ⎥0 n n nω0ω âttention à ne pâs oublier de bien mettre le 2 pârtout π π 2 2⎡ −12 2 a=tsin(nωt)⎤ −cos(nωt) ⎣ ⎦0⎢ ⎥ n nωnωnω0 2ππ⎞ ⎞2⎛ −1π⎞ −1a=sin 2ncos 2ncârω=2 ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ n 2n22⎠ ⎠2n2n22nπ1 a n=sin(nπ)+(cos(nπ)1) 2 2n2n 1n a=(1)1 n2( ) 2n
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